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  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Eccoci qui: :) perdonami per l'attesa, ma volevo calibrare un attimo il discorso prima di risponderti Wink

    Consideriamo una successione di funzioni reali di variabile reale \{f_{n}(x)\}_n: per capire la differenza che intercorre tra convergenza puntuale e convergenza uniforme conviene partire dalle definizioni.

    -una successione di funzioni converge puntualmente ad una funzione f(x) su un intervallo I\subseteq \mathbb{R} (contenuto nel dominio delle funzioni della successione) se, dato x_0\in Iper ogni \varepsilon>0 esiste un n_0 dipendente da \varepsilon tale che se n\geq n_0 risulta che |f_{n}(x_0)-f(x_0)|\leq \varepsilon

    Dunque la convergenza puntuale è una convergenza di successioni di numeri reali: \{f_{n}(x_0)\}_n.

    - Per la convergenza uniforme, invece, abbiamo che f_n\to f uniformemente in I se per ogni \varepsilon>0 esiste un indice n_0 tale che per ogni x_0\in I se n\geq n_0 risulta che |f_{n}(x_0)-f_n(x)|\leq \varepsilon

    ---

    Dov'è la differenza apparentemente nascosta? Nel fatto che nel caso della convergenza puntuale l'indice n_0 che corrisponde al valore di \varepsilon scelto dipende dal punto x_0\in I considerato, mentre nel caso della convergenza uniforme l'indice n_0 dipendente da \varepsilon va bene per tutti i punti x_0\in I.

    Differenza che non è affatto trascurabile...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • scusami ma ancora non riesco a capire con precisione ho letto varie volte quello che hai scritto

    Risposta di 904
  • Allora facciamo così: parliamone terra terra e poi passiamo ad un discorso rigoroso Wink

    Nel caso della convergenza puntuale, si ha che una successione di funzioni converge puntualmente ad una certa funzione su un determinato intervallo se, fissato un qualsiasi punto x_0 nell'intervallo, la successione numerica f_{n}(x_0) tende al valore reale f(x_0) (dove stiamo usando le stesse notazioni di prima).

    Nel caso della convergenza uniforme, invece, non solo abbiamo il comportamento appena descritto, ma vale qualcosa in più: tutte le successioni numeriche \{f(x_0)\}_n al variare di x_{0}\in I non solo convergono ai rispettivi limiti f(x_0) (ogni successione numerica è individuata dal punto x_0), ma vi convergono allo stesso modo. Da qui il nome: "uniformemente (su un certo intervallo)".

    Nota che la convergenza uniforme implica sempre la convergenza puntuale, ma in generale non è vero il viceversa.

    Così è più chiaro? :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • cioè mentre la convergenza lineare in un punto invece quella uniforme in tutto l'intervallo

    Risposta di 904
  • Nì, nel senso che la convergenza puntuale (non "lineare" Wink) è essa stessa valida per ciascun punto dell'intervallo considerato, ma la convergenza in ciascun punto avviene in maniera "diversa" dagli altri (proprio come se fossero successioni numeriche diverse).

    Nella convergenza uniforme, invece, c'è il "grado  di correlazione di cui parlavamo prima.

    So bene che è un argomento molto delicato, all'inizio, per cui non esitare nel chiedermi qualsiasi dubbio ti frulli per la testa Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
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