Soluzioni
  • Ok, innanzitutto ti suggerisco di dare un'occhiata alla lezione sulle equazioni letterali di secondo grado.

    (k-1)x^2-2(k+x)x+k+1=0

    Sviluppiamo i conti:

    (k-1)x^2-2kx-2x^2+k+1=0

    A questo punto sommiamo i termini simili:

    (k-1-2)x^2-2kx+k+1=0

    (k-3)x^2-2kx+k+1=0

    Abbiamo ricondotto l'equazione nella forma canonica:

    a x^2+bx+c=0

    Nel nostro caso

    a= k-3

    b=-2k

    c=k+1

    La prima cosa che bisogna fare è lavorare con il coefficiente di x^2, cioè k-3. Osserva che se esso è uguale a zero allora l'equazione non è più di secondo grando ma si riduce ad una di primo grado:

    Se k-3=0\iff k=3

    L'equazione diventa:

    -6x+4=0\iff x= \frac{-4}{-6}= \frac{2}{3}

    Per k\ne 3 

    risolviamo l'equazione di secondo grado utilizzando il procedimento noto, calcoliamo il discriminante:

    \Delta= b^2-4ac= (-2k)^2-4(k-3)(k+1)=12+8k

     

    Ora bisogna distinguere i casi:

    • Delta maggiore di zero:

    \Delta\textgreater 0\iff 12+8k\textgreater 0\iff k\textgreater -\frac{12}{8}= -\frac{3}{2}

    In questo caso l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte:

    x_{1, 2}= \frac{-b\pm \sqrt{\Delta}}{2a}= \frac{2k\pm \sqrt{12+8k}}{2(k-3)}=

    = \frac{2k\pm \sqrt{4(3+2k)}}{2(k-3)}= \frac{2(k\pm \sqrt{3+2k})}{2(k-3)}=

    =\frac{k\pm \sqrt{3+2k}}{k-3}

    • Delta uguale a zero:

    \Delta=0\iff 12+8k=0\iff k= -\frac{3}{2}

    Sostituendo a k il valore ottenuto abbiamo:

    x_{1}=x_2= \frac{-b}{2a}= \frac{-2 k}{2(k-3)}= \frac{-\frac{3}{2}}{\left(\frac{3}{2}-3\right)}=\frac{1}{3}

     

    • Delta minore di zero:

    \Delta \textless 0\iff k\textless -\frac{3}{2}

    In questo caso l'equazione non ammette soluzioni reali.

    Abbiamo finito 

    Risposta di Ifrit
 
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