Soluzioni
  • Il nostro compito consiste nel discutere l'equazione parametrica di secondo grado

    (k-1)x^2-2(k+x)x+k+1=0

    al variare del parametro reale k\in\mathbb{R}. Prima di tutto, occorre esprimere l'equazione nella forma normale, vale a dire:

    ax^2+bx+c=0

    dove a, \ b \ \mbox{e} \ c sono rispettivamente il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto.

    Sviluppiamo i calcoli

    kx^2-x^2-2kx-2x^2+k+1=0

    e raccogliamo i termini secondo le potenze di x così da determinare le espressioni dei coefficienti:

    \\ (k-1-2)x^2-2kx+k+1=0 \\ \\ (k-3)x^2-2kx+k+1=0

    Deduciamo quindi che il coefficiente di x^2, quello di x e il termine noto sono rispettivamente 

    a=k-3 \ \ \ , \ \ \ b=-2k \ \ \ , \ \ \ c=k+1

    Si noti che se k=3 allora k-3=0, per cui l'equazione si abbassa di grado e degenera in una di primo:

    -2\cdot 3 x+3+1=0 \ \ \ \to \ \ \ -6x+4=0 \ \ \ \to \ \ \ x=\frac{2}{3}

    Per k\ne 3, il coefficiente di x^2 è certamente diverso da zero, per cui ricaveremo le eventuali soluzioni usando la teoria delle equazioni di secondo grado. Iniziamo dal calcolo del discriminante, magari usando la formula del delta quarti giacché b è della forma 2\cdot (-k).

    \frac{\Delta}{4}=\left(\frac{b}{2}\right)^{2}-a\cdot c=\left(\frac{-2k}{2}\right)^2-(k-3)(k+1)=

    Semplifichiamo 2 e svolgiamo il prodotto tra i polinomi

     =k^2-(k^2+k-3k-3)=k^2-k^2+2k+3=2k+3

    In base alla teoria, un'equazione di secondo grado:

    - ammette due soluzioni reali e distinte se e solo se il delta quarti è positivo;

    - ammette due soluzioni reali e coincidenti se e solo se il delta quarti è nullo;

    - è impossibile (nell'insieme dei numeri reali) se e solo se il delta quarti è negativo.

    In questa particolare circostanza, il segno del delta quarti dipende dal parametro k, infatti:

    \frac{\Delta}{4}>0 \ \ \ \iff \ \ \ 2k+3>0

    Risolvendo la disequazione di primo grado, ricaviamo che:

    - se k>-\frac{3}{2}\ \mbox{e}\ k\ne 3, il delta quarti è positivo e l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, date dalla formula:

    \\ x_{1,2}=\frac{-\frac{b}{2}\pm\sqrt{\frac{\Delta}{4}}}{a}=\frac{k\pm\sqrt{2k+3}}{k-3}=\\ \\ \\ =\begin{cases}\dfrac{k-\sqrt{2k+3}}{k-3}=x_{1}\\ \\ \dfrac{k+\sqrt{2k+3}}{k-3}=x_2\end{cases}

    - se k=-\frac{3}{2}, l'equazione ammette due soluzioni coincidenti:

    x_{1}=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2k}{2(k-3)}=\frac{k}{k-3}=

    Poiché il valore di k è noto, possiamo sostituirlo nell'espressione e svolgere i calcoli, stando attenti nel momento in cui si esprime in forma normale la frazione di frazioni

    \\ =\frac{-\frac{3}{2}}{-\frac{3}{2}-3}=\frac{-\frac{3}{2}}{\frac{-3-6}{2}}=-\frac{3}{2}\cdot\left(-\frac{2}{9}\right)=\\ \\ \\ =\frac{1}{3}

    - Se k<-\frac{3}{2}, il delta quarti è negativo, di conseguenza l'equazione non ammette soluzioni reali.

    Ricapitolando:

    (k-1)x^2-2(k+x)x+k+1=0

    - si riduce a un'equazione di primo grado per k=3, con soluzione x=\frac{2}{3};

    - ammette due soluzioni reali e distinte per k>-\frac{3}{2} \ \mbox{e} \ k\ne 3 che sono:

    x_{1}=\frac{k-\sqrt{2k+3}}{k-3}\ \ \ \mbox{e} \ \ \ x_2=\frac{k+\sqrt{2k+3}}{k-3}

    - ammette due soluzioni reali e coincidenti per k=-\frac{3}{2}

    x_1=x_2=\frac{1}{3}

    - non ammette soluzioni reali per k<-\frac{3}{2}.

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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