Soluzioni
  • Dobbiamo calcolare il limite

    \lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}\sin(e^{-x}\sin(x))}{x}=(\bullet)

    invocando il teorema dei carabinieri mediante il quale dimostreremo che il termine

    e^{-x}\sin(x)

    è infinitesimo per x\to+\infty. Tale informazione è fondamentale perché ci fornirà l'autorizzazione all'uso dei limiti notevoli.

    In accordo con la definizione del seno, è noto che esso risulta essere limitato dalle costanti -1 e 1, in altri termini sussiste la doppia disuguaglianza:

    -1\le \sin(x)\le 1 \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Se moltiplichiamo i membri per la quantità positiva e^{-x} i versi rimangono invariati

    -e^{-x}\le e^{-x}\sin(x)\le e^{-x} \ \ \ \mbox{per ogni} \ x\in\mathbb{R}

    Quando x\to+\infty sia il primo che il terzo membro tendono a zero e pertanto

    \lim_{x\to+\infty}e^{-x}\sin(x)=0

    La nullità di tale limite ci autorizza all'uso del limite notevole del seno

    \lim_{h(x)\to0}\frac{\sin(h(x))}{h(x)}=1

    e dunque all'uso della relazione asintotica associata

    \sin(h(x))\sim_{h(x)\to0}h(x)

    che applicata al caso in esame diventa

    \sin(e^{-x}\sin(x))\sim_{x\to+\infty}e^{-x}\sin(x)

    Sostituiamo la stima asintotica nel limite (\bullet)

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{e^{x}e^{-x}\sin(x)}{x}=

    e utilizziamo le proprietà delle potenze che ci permettono di semplificare il limite come segue

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{\sin(x)}{x}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\sin(x)\cdot\frac{1}{x}=0

    Il risultato del limite si giustifica dal fatto che ci troviamo di fronte ad un prodotto tra una funzione limitata per una infinitesima.

    Risposta di Ifrit
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