Limite con rapporto di esponenziale e seno

Dobbiamo calcolare il limite

invocando il teorema dei carabinieri mediante il quale dimostreremo che il termine

è infinitesimo per . Tale informazione è fondamentale perché ci fornirà l'autorizzazione all'uso dei limiti notevoli.

In accordo con la definizione del seno, è noto che esso risulta essere limitato dalle costanti -1 e 1, in altri termini sussiste la doppia disuguaglianza:

Se moltiplichiamo i membri per la quantità positiva i versi rimangono invariati

Quando sia il primo che il terzo membro tendono a zero e pertanto

La nullità di tale limite ci autorizza all'uso del limite notevole del seno

e dunque all'uso della relazione asintotica associata

che applicata al caso in esame diventa

Sostituiamo la stima asintotica nel limite

e utilizziamo le proprietà delle potenze che ci permettono di semplificare il limite come segue

Il risultato del limite si giustifica dal fatto che ci troviamo di fronte ad un prodotto tra una funzione limitata per una infinitesima.