Soluzioni
  • Ciao WhiteC arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Cacchio scusami per il ritardo, ma stavo correggendo una risposta :| e la tua è abbastanza complicata xD

     

    \int \frac{1}{\cos^3(4x)}dx=

    Tramite la relazione fondamentale della trigonometria scriviamo:

    1= \sin^2(4x)+\cos^2(4x)

    \int \frac{\sin^2(4x)+\cos^2(4x)}{\cos^3(4x)}dx=

    \int \frac{\sin^2(4x)}{\cos^2(4x)\cos(4x)}dx+\int \frac{1}{\cos(4x)}dx

    \int \frac{\tan^2(4x)}{\cos(4x)}dx+\int \frac{1}{\cos(4x)}dx

    Il problema è che ci riconduciamo alla secante in ogni caso :|

    Come mai questo impedimento? :?

    Risposta di Ifrit
  • era piu che altro una curiosità perchè partire con la secante dall inizio e sostituire 4x=t ecc ecc mi sembrava un po troppo complesso...
    da dove hai lasciato tu poi come si procede?

    Risposta di WhiteC
  • Cambiamo approccio, utilizziamo le formule di razionalizzazione.

    Poniamo 

    4x= t\implies 4dx= dt\implies dx= \frac{dt}{4}

    L'integrale diventa:

    \int \frac{1}{4\cos^3(t)}dt

    A questo punto ricorriamo alle formule parametriche trigonometriche poniamo:

    \tan(t/2)= z\implies dt= \frac{2dz}{1+z^2}

    Con questa sostituzione:

    \cos(t)= \frac{1-z^2}{1+z^2}\implies \cos^3(t)= \frac{(1-z^2)^3}{(1+z^2)^3}

    L'integrale diventa:

    \int \frac{(1+z^2)^3}{4(1-z^2)^3} \frac{2dz}{1+z^2}

    Semplificando:

    \int \frac{(1+z^2)^2}{2(1-z^2)^3}dz

    A questo punto puoi risolvere questo integrale con il metodo dei fratti semplici.  Ci provi? Nel caso non ci riuscissi fai un fischio :D

    Risposta di Ifrit
 
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