Integrale fratto col coseno al cubo

Buongiorno vorrei sapere come calcolare l'integrale di una funzione fratta con il coseno al cubo, e cioè:

∫ 1 / [ cos^3(4X) ] dx.

Volendo svolgere questo integrale senza ricondurlo alla secante, come posso fare?

Domanda di WhiteC
Soluzioni

Ciao WhiteC arrivo :D

Risposta di Ifrit

Cacchio scusami per il ritardo, ma stavo correggendo una risposta :| e la tua è abbastanza complicata xD

∫ (1)/(cos^3(4x))dx =

Tramite la relazione fondamentale della trigonometria scriviamo:

1 = sin^2(4x)+cos^2(4x)

∫ (sin^2(4x)+cos^2(4x))/(cos^3(4x))dx =

∫ (sin^2(4x))/(cos^2(4x)cos(4x))dx+∫ (1)/(cos(4x))dx

∫ (tan^2(4x))/(cos(4x))dx+∫ (1)/(cos(4x))dx

Il problema è che ci riconduciamo alla secante in ogni caso :|

Come mai questo impedimento? :?

Risposta di Ifrit

era piu che altro una curiosità perchè partire con la secante dall inizio e sostituire 4x=t ecc ecc mi sembrava un po troppo complesso...
da dove hai lasciato tu poi come si procede?

Risposta di WhiteC

Cambiamo approccio, utilizziamo le formule di razionalizzazione.

Poniamo 

4x = t ⇒ 4dx = dt ⇒ dx = (dt)/(4)

L'integrale diventa:

∫ (1)/(4cos^3(t))dt

A questo punto ricorriamo alle formule parametriche trigonometriche poniamo:

tan(t/2) = z ⇒ dt = (2dz)/(1+z^2)

Con questa sostituzione:

cos(t) = (1-z^2)/(1+z^2) ⇒ cos^3(t) = ((1-z^2)^3)/((1+z^2)^3)

L'integrale diventa:

∫ ((1+z^2)^3)/(4(1-z^2)^3) (2dz)/(1+z^2)

Semplificando:

∫ ((1+z^2)^2)/(2(1-z^2)^3)dz

A questo punto puoi risolvere questo integrale con il metodo dei fratti semplici.  Ci provi? Nel caso non ci riuscissi fai un fischio :D

Risposta di Ifrit

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