Integrale per parti con esponenziale e coseno

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Ciao ho problemi con l'integrazione per parti in un integrale con il prodotto tra un'esponenziale e un coseno: integro all'infinito per parti ma non riesco mai a trovare il risultato, come posso fare? Grazie.

 

∫ e^(2x)cos(3x)dx

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904 arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Iniziamo:

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx

    Integriamo per parti scegliendo come fattore finito (da derivare) e^(2x) e come fattore differenziale (da integrare) cos(3x):

    f(x) = e^(2x) ⇒ f'(x) = 2 e^(2x)

    g'(x)dx = cos(3x)dx ⇒ g(x) = (1)/(3)sin(3x)

    Utilizzando la formula di integrazione per parti otteniamo:

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)-∫ (2)/(3)e^(2x)sin(3x)dx =

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)-(2)/(3)∫ e^(2x)sin(3x)dx (1.1)

    L'ultimo integrale lo risolviamo per parti 

    f(x) = e^(2x) ⇒ f'(x) = 2e^(2x)

    g'(x)dx = sin(3x) ⇒ g(x) = -(1)/(3)cos(3x)

    Utilizzando nuovamente la formula di integrazione per parti abbiamo:

    ∫ e^(2x)sin(3x)dx = -(1)/(3)e^(2x)cos(3x)-∫ (-(2)/(3)) e^(2x)cos(3x)dx =

    = -(1)/(3)e^(2x)cos(3x)+(2)/(3)∫ e^(2x)cos(3x)dx

    Sostituiamo il risultato nella espressione (1.1)

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)-(2)/(3)[-(1)/(3)e^(2x)cos(3x)+(2)/(3)∫ e^(2x)cos(3x)dx]

    Facciamo un po' di conti:

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)+(2)/(9)e^(2x)cos(3x)-(4)/(9)∫ e^(2x)cos(3x)dx

    Osserva ora che l'integrale al primo membro e l'integrale al secondo membro sono identici, portimaolo al primo membro:

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx+(4)/(9)∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)+(2)/(9)e^(2x)cos(3x)

    Da cui otteniamo:

    (13)/(9)∫ e^(2x)cos(3x)dx = (1)/(3)e^(2x)sin(3x)+(2)/(9)e^(2x)cos(3x)

    Moltiplichiamo membro a membro per 9/13 ottenendo:

    ∫ e^(2x)cos(3x)dx = (3)/(13)e^(2x)sin(3x)+(2)/(13)e^(2x)cos(3x)+C

    Risposta di Ifrit

  • lol il mio cervello è andato in kernel panic appena ritorna in se leggo cosa hai scritto e ti confermo se non ho dubbi

    Risposta di 904

  • Ok, ma guarda che non è difficile, ho solo applicato due volte l'integrazione per parti xD XD

    Risposta di Ifrit

  • si ma dopo aver aperto il libro di fisica il cervello va in crash  non so se hai mai provato

    Risposta di 904

  • Mi capita ogni volta che apro un libro di fisica... Anche delle scuole medie xD XD

    Risposta di Ifrit
 
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