Ciao Matteo, arrivo a risponderti...
Ok: ho combattuto per un po' con la tentazione (al limite dell'inevitabile!
) di non usare alcun risultato noto. La dimostrazione che ti propongo non prevede l'uso di alcun teorema dell'algebra dei limiti di sucessioni, quindi dovrebbe andar bene.
Usiamo solo la definizione: vogliamo provare che, date due successioni
di cui
per ogni
, e tali che
risulta che
Con la definizione, si tratta di dimostrare che
o, più precisamente e più esplicitamente: che fissato
esiste un indice
tale che se
risulta che
Consideriamo:
sommiamo e sottraiamo
a numeratore
Possiamo supporre, senza ledere in generalità, che
. Il teorema della permanenza del segno ci assicura dunque che
definitivamente
quindi
Passiamo a considerare
Per la convergenza delle successioni considerate, possiamo prendere un indice
tale che se
risulta
e possiamo prendere un indice
tale che se
risulta
Noi prendiamo
per cui
proprietà del modulo
Nel caso in cui
, si procede in modo analogo. Nella precedente dimostrazione non è contemplato il caso
, per il quale sarebbe molto molto più semplice procedere.
Namasté!
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