Soluzioni
  • Ciao Matteo, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Ok: ho combattuto per un po' con la tentazione (al limite dell'inevitabile! Laughing) di non usare alcun risultato noto. La dimostrazione che ti propongo non prevede l'uso di alcun teorema dell'algebra dei limiti di sucessioni, quindi dovrebbe andar bene.

    Usiamo solo la definizione: vogliamo provare che, date due successioni \{a_n\}_n,\{b_n\}_n di cui b_n\neq 0 per ogni n, e tali che 

    a_n\to a

    b_n\to b\neq 0

    risulta che

    \frac{a_n}{b_n}\to \frac{a}{b}

    Con la definizione, si tratta di dimostrare che

    \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|\leq \varepsilon

    o, più precisamente e più esplicitamente: che fissato \varepsilon>0 esiste un indice n_0 tale che se n>n_0 risulta che

    \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|\leq \varepsilon

    Consideriamo:

    \left|\frac{a_n}{b_n}-\frac{a}{b}\right|=\left|\frac{a_nb-b_na}{bb_n}\right|=

    sommiamo e sottraiamo a_nb_n a numeratore

    =\left|\frac{a_nb-a_nb_n+a_nb_n-b_na}{bb_n}\right|=

    Possiamo supporre, senza ledere in generalità, che b>1. Il teorema della permanenza del segno ci assicura dunque che

    b_n>1 definitivamente

    quindi

    \left|\frac{a_nb-a_nb_n+a_nb_n-b_na}{bb_n}\right|\leq |a_n(b-b_n)+b_n(a_n-a)|

    Passiamo a considerare

    \left|\frac{a_nb-a_nb_n+a_nb_n-b_na}{bb_n}\right|\leq |(a_n-a)(b-b_n)+a(b-b_n)+(b_n-b)(a_n-a)-b(a_n-a)|

    Per la convergenza delle successioni considerate, possiamo prendere un indice \nu tale che se n>\nu risulta |a-a_{n}|\leq \varepsilon/ 2b e possiamo prendere un indice \mu tale che se n>\mu risulta |b-b_{n}|\leq \varepsilon/ 2a

    Noi prendiamo n_0=max\{\nu,\mu\} per cui

    |(a_n-a)(b-b_n)+a(b-b_n)+(b_n-b)(a_n-a)-b(a_n-a)|

    |a(b-b_n)-b(a_n-a)|

    proprietà del modulo

    \leq |a(b-b_n)|+|b(a_n-a)|\leq \frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon

    Nel caso in cui b\in (0,1), si procede in modo analogo. Nella precedente dimostrazione non è contemplato il caso a=0, per il quale sarebbe molto molto più semplice procedere.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
 
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