Dimostrazione del limite del rapporto di due successioni

Ok: ho combattuto per un po' con la tentazione (al limite dell'inevitabile! ) di non usare alcun risultato noto. La dimostrazione che ti propongo non prevede l'uso di alcun teorema dell'algebra dei limiti di sucessioni, quindi dovrebbe andar bene.

Usiamo solo la definizione: vogliamo provare che, date due successioni di cui per ogni , e tali che 

risulta che

Con la definizione, si tratta di dimostrare che

o, più precisamente e più esplicitamente: che fissato esiste un indice tale che se risulta che

Consideriamo:

sommiamo e sottraiamo a numeratore

Possiamo supporre, senza ledere in generalità, che . Il teorema della permanenza del segno ci assicura dunque che

definitivamente

quindi

Passiamo a considerare

Per la convergenza delle successioni considerate, possiamo prendere un indice tale che se risulta e possiamo prendere un indice tale che se risulta 

Noi prendiamo per cui

proprietà del modulo

Nel caso in cui , si procede in modo analogo. Nella precedente dimostrazione non è contemplato il caso , per il quale sarebbe molto molto più semplice procedere.

Namasté!