Domande a risposta multipla su frazioni algebriche e proporzioni

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Avrei bisogno di una mano per rispondere a due domande di un test a risposta multipla sull'uguaglianza tra frazioni algebriche e sulle proprietà delle proporzioni.

 

(1) Quale fra le seguenti uguaglianze è sempre vera? Se x e y sono entrambi diversi da zero, allora:

 

(a) (x y)/(x) = y ; (b) (xy)/(y) = (1)/(y) ; (c) (x y)/(y) = (1)/(x) ; (d) (x y)/((y)/(x)) = y^2 ; (e) (x y)/((y)/(x)) = 1

 

(2) La proporzione a:b = c:d è equivalente a tutte le seguenti, tranne una. Quale?

 

(A) b:a = d:c ; (B) (a+b):b = (c+d):d ; (C) b:d = c:a ; (D) (a-b):a = (c-d):c ; (E) c:a = d:b

 

Grazie.

Domanda di luigi rovatti

 
Soluzioni

  • Nella prima domanda del test ci viene chiesto di determinare l'unica uguaglianza tra frazioni algebriche, vera per ogni x e y diversi da zero.

    Prima di esaminarle singolarmente, ricordiamo che due frazioni algebriche

    (A)/(B) e (C)/(D) con B ne 0 e D ne 0

    sono uguali (o meglio sono frazioni algebriche equivalenti) se e solo se sono uguali il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda e il prodotto tra il numeratore della seconda e il denominatore della prima, ossia se sussiste l'uguaglianza

    AD = BC

    Dopo questo velocissimo preambolo, esaminiamo le possibili risposte.

     

    (a) (x y)/(x) = y

    Questa relazione è chiaramente vera, infatti interpretando il secondo membro come frazione algebrica con denominatore unitario, ossia scrivendo:

    (x y)/(x) = (y)/(1)

    siamo autorizzati ad applicare la condizione di equivalenza tra frazioni algebriche: se moltiplichiamo il numeratore della prima per il denominatore della seconda e il numeratore della seconda per il denominatore della prima ricaviamo immediatamente l'uguaglianza

    (xy)·1 = x·y → x y = xy

    che è chiaramente vera per tutti i valori di x e y diversi da zero.

     

    (b) (xy)/(y) = (1)/(y)

    Questa uguaglianza non è vera per ogni x, y diversi da zero. Se applichiamo la condizione di equivalenza, ricaviamo

    xy·y = y·1 → xy^2 = y

     

    (c) (xy)/(y) = (1)/(x)

    L'uguaglianza sussiste per infiniti valori di x e di y, ma non per tutti. Se moltiplichiamo in croce il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e calcoliamo il prodotto tra il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima ricaviamo

    xy·x = y → x^2y = y

    Chiaramente le due espressioni non sono uguali.

     

    (d) (xy)/((y)/(x)) = y^2

    In questa occasione, al primo membro figura una frazione di frazioni che possiamo esprimere in forma normale moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore

    xy·(x)/(y) = y^2 → (x^2y)/(y) = y^2

    A questo punto possiamo controllare l'equivalenza moltiplicando in croce:

    x^2 y = y^2·y → x^2 y = y^3

    Come c'era d'aspettarsi, le due espressioni non coincidono, per cui le due frazioni algebriche non sono equivalenti.

     

    (e) (xy)/((x)/(y)) = 1

    Per prima cosa esprimiamo la frazione di frazioni al primo membro in forma normale: è sufficiente moltiplicare il numeratore principale per il reciproco del denominatore

    xy·(y)/(x) = 1 → (x y^2)/(x) = 1

    Moltiplicando in croce ricaviamo infine

    xy^2 = x

    Poiché i due membri non coincidono, possiamo concludere che l'uguaglianza

    (xy)/((x)/(y)) = 1

    è falsa.

    Rispondiamo alla seconda domanda che riguarda le proporzioni: dobbiamo stabilire quale delle seguenti proporzioni non è equivalente a a:b = c:d

    (A) b:a = d:c ; (B) (a+b):b = (c+d):d ; (C) b:d = c:a ; (D) (a-b):a = (c-d):c ; (E) c:a = d:b

     

    (A) b:a = d:c è equivalente a:b = c:d, infatti la prima proporzione si ottiene applicando la proprietà dell'invertire sulla seconda.

     

    (B) (a+b):b = (c+d):d è equivalente a a:b = c:d. Se, infatti, applichiamo la proprietà del comporre su

    a:b = c:d

    ricaviamo:

    (a+b):b = (c+d):d

     

    (C) b:d = c:a non è equivalente a a:b = c:d, infatti possiamo applicare tutte le proprietà delle proporzioni sulla seconda, senza mai ottenere la prima.

     

    (D) (a-b):a = (c-d):c è equivalente a a:b = c:d. Notiamo infatti che la prima si ottiene applicando la proprietà dello scomporre sulla seconda.

     

    (E) c:a = d:b è equivalente a a:b = c:d. La prima proporzione si ottiene applicando la proprietà del permutare i medi e in seguito la proprietà dell'invertire.

    Più precisamente, se applichiamo la proprietà del permutare su a:b = c:d ricaviamo

    a:c = b:d

    Usando infine la proprietà dell'invertire otteniamo la proporzione

    c:a = d:b

    dimostrando così l'equivalenza tra le due.

    Risposta di Ifrit
 
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