Nella prima domanda del test ci viene chiesto di determinare l'unica uguaglianza tra frazioni algebriche, vera per ogni
diversi da zero.
Prima di esaminarle singolarmente, ricordiamo che due frazioni algebriche
sono uguali (o meglio sono frazioni algebriche equivalenti) se e solo se sono uguali il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda e il prodotto tra il numeratore della seconda e il denominatore della prima, ossia se sussiste l'uguaglianza
Dopo questo velocissimo preambolo, esaminiamo le possibili risposte.
Questa relazione è chiaramente vera, infatti interpretando il secondo membro come frazione algebrica con denominatore unitario, ossia scrivendo:
siamo autorizzati ad applicare la condizione di equivalenza tra frazioni algebriche: se moltiplichiamo il numeratore della prima per il denominatore della seconda e il numeratore della seconda per il denominatore della prima ricaviamo immediatamente l'uguaglianza
che è chiaramente vera per tutti i valori di
diversi da zero.
Questa uguaglianza non è vera per ogni
diversi da zero. Se applichiamo la condizione di equivalenza, ricaviamo
L'uguaglianza sussiste per infiniti valori di
e di
, ma non per tutti. Se moltiplichiamo in croce il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e calcoliamo il prodotto tra il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima ricaviamo
Chiaramente le due espressioni non sono uguali.
In questa occasione, al primo membro figura una frazione di frazioni che possiamo esprimere in forma normale moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore
A questo punto possiamo controllare l'equivalenza moltiplicando in croce:
Come c'era d'aspettarsi, le due espressioni non coincidono, per cui le due frazioni algebriche non sono equivalenti.
Per prima cosa esprimiamo la frazione di frazioni al primo membro in forma normale: è sufficiente moltiplicare il numeratore principale per il reciproco del denominatore
Moltiplicando in croce ricaviamo infine
Poiché i due membri non coincidono, possiamo concludere che l'uguaglianza
è falsa.
Rispondiamo alla seconda domanda che riguarda le proporzioni: dobbiamo stabilire quale delle seguenti proporzioni non è equivalente a
è equivalente
, infatti la prima proporzione si ottiene applicando la proprietà dell'invertire sulla seconda.
è equivalente a
. Se, infatti, applichiamo la proprietà del comporre su
ricaviamo:
non è equivalente a
, infatti possiamo applicare tutte le proprietà delle proporzioni sulla seconda, senza mai ottenere la prima.
è equivalente a
. Notiamo infatti che la prima si ottiene applicando la proprietà dello scomporre sulla seconda.
è equivalente a
. La prima proporzione si ottiene applicando la proprietà del permutare i medi e in seguito la proprietà dell'invertire.
Più precisamente, se applichiamo la proprietà del permutare su
ricaviamo
Usando infine la proprietà dell'invertire otteniamo la proporzione
dimostrando così l'equivalenza tra le due.
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