Soluzioni
  • Nella prima domanda del test ci viene chiesto di determinare l'unica uguaglianza tra frazioni algebriche, vera per ogni x \ \mbox{e} \ y diversi da zero.

    Prima di esaminarle singolarmente, ricordiamo che due frazioni algebriche

    \frac{A}{B}\ \mbox{e} \ \frac{C}{D} \ \ \ \mbox{con} \ B\ne 0 \ \mbox{e} \ D\ne 0

    sono uguali (o meglio sono frazioni algebriche equivalenti) se e solo se sono uguali il prodotto tra il numeratore della prima e il denominatore della seconda e il prodotto tra il numeratore della seconda e il denominatore della prima, ossia se sussiste l'uguaglianza

    AD=BC

    Dopo questo velocissimo preambolo, esaminiamo le possibili risposte.

     

    (a) \ \ \ \frac{x y}{x}=y

    Questa relazione è chiaramente vera, infatti interpretando il secondo membro come frazione algebrica con denominatore unitario, ossia scrivendo:

    \frac{x y}{x}=\frac{y}{1}

    siamo autorizzati ad applicare la condizione di equivalenza tra frazioni algebriche: se moltiplichiamo il numeratore della prima per il denominatore della seconda e il numeratore della seconda per il denominatore della prima ricaviamo immediatamente l'uguaglianza

    (xy)\cdot 1=x\cdot y \ \ \ \to \ \ \ x y=xy

    che è chiaramente vera per tutti i valori di x\ \mbox{e} \ y diversi da zero.

     

    (b) \ \ \ \frac{xy}{y}=\frac{1}{y}

    Questa uguaglianza non è vera per ogni x, y diversi da zero. Se applichiamo la condizione di equivalenza, ricaviamo

    xy\cdot y=y\cdot 1 \ \ \ \to \ \ \ xy^2=y

     

    (c) \ \ \ \frac{xy}{y}=\frac{1}{x}

    L'uguaglianza sussiste per infiniti valori di x e di y, ma non per tutti. Se moltiplichiamo in croce il numeratore della prima frazione per il denominatore della seconda e calcoliamo il prodotto tra il numeratore della seconda frazione per il denominatore della prima ricaviamo

    xy\cdot x=y \ \ \ \to \ \ \ x^2y=y

    Chiaramente le due espressioni non sono uguali.

     

    (d)\ \ \ \frac{xy}{\dfrac{y}{x}}=y^2

    In questa occasione, al primo membro figura una frazione di frazioni che possiamo esprimere in forma normale moltiplicando il numeratore principale per il reciproco del denominatore

    xy\cdot\frac{x}{y}=y^2 \ \ \ \to \ \ \ \frac{x^2y}{y}=y^2

    A questo punto possiamo controllare l'equivalenza moltiplicando in croce:

    x^2 y=y^2\cdot y \ \ \ \to \ \ \ x^2 y=y^3

    Come c'era d'aspettarsi, le due espressioni non coincidono, per cui le due frazioni algebriche non sono equivalenti.

     

    (e) \ \ \ \frac{xy}{\dfrac{x}{y}}=1

    Per prima cosa esprimiamo la frazione di frazioni al primo membro in forma normale: è sufficiente moltiplicare il numeratore principale per il reciproco del denominatore

    xy\cdot\frac{y}{x}=1 \ \ \ \to \ \ \ \frac{x y^2}{x}=1

    Moltiplicando in croce ricaviamo infine

    xy^2=x

    Poiché i due membri non coincidono, possiamo concludere che l'uguaglianza

    \frac{xy}{\dfrac{x}{y}}=1

    è falsa.

    Rispondiamo alla seconda domanda che riguarda le proporzioni: dobbiamo stabilire quale delle seguenti proporzioni non è equivalente a a:b=c:d

    \\ (A)\ \ \ b:a=d:c \\ \\ (B)\ \ \ (a+b):b=(c+d):d\\ \\ (C)\ \ \ b:d=c:a\\ \\ (D)\ \ \ (a-b):a=(c-d):c\\ \\ (E)\ \ \ c:a=d:b

     

    (A)\ \ \ b:a=d:c è equivalente a:b=c:d, infatti la prima proporzione si ottiene applicando la proprietà dell'invertire sulla seconda.

     

    (B)\ \ \ (a+b):b=(c+d):d è equivalente a a:b=c:d. Se, infatti, applichiamo la proprietà del comporre su

    a:b=c:d

    ricaviamo:

    (a+b):b=(c+d):d

     

    (C)\ \ \ b:d=c:a non è equivalente a a:b=c:d, infatti possiamo applicare tutte le proprietà delle proporzioni sulla seconda, senza mai ottenere la prima.

     

    (D)\ \ \ (a-b):a=(c-d):c è equivalente a a:b=c:d. Notiamo infatti che la prima si ottiene applicando la proprietà dello scomporre sulla seconda.

     

    (E) \ \ \ c:a=d:b è equivalente a a:b=c:d. La prima proporzione si ottiene applicando la proprietà del permutare i medi e in seguito la proprietà dell'invertire.

    Più precisamente, se applichiamo la proprietà del permutare su a:b=c:d ricaviamo

    a:c=b:d

    Usando infine la proprietà dell'invertire otteniamo la proporzione

    c:a=d:b

    dimostrando così l'equivalenza tra le due.

    Risposta di Ifrit
 
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