Studiare le circonferenze generatrici di un fascio

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Ciao potreste spiegarmi questo esercizio sulle generatrici di un fascio di circonferenze? Devo trovare le coordinate del centro del fascio di rette, la misura del raggio, le due circonferenze generatrici e gli eventuali punti base del fascio di circonferenza.

 

x^2+y^2-(4k+3)y=0

Domanda di

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'esercizio, scriviamo l'equazione del fascio nella forma

    x^2+y^2-3y-4ky=0

    Le circonferenze del fascio si intersecano in un unico punto base, ottenuto mettendo a sistema la circonferenza del fascio ottenuta per il valore del parametro k=0

    x^2+y^2-3y=0

    e la retta y=0, ottenuta scrivendo l'equazione nella forma

    4y=\frac{x^2+y^2-3y}{k}

    e facendo tendere k\to +\infty. Abbiamo quindi come unico punto base l'origine degli assi coordinati

    (0,0)

    La seconda circonferenza generatrice è la retta stessa.

    Tutte le circonferenze del fascio hanno centro sulla retta x=0 (asse delle ordinate), in particolare l'ordinata si ricava completando il quadrato

    x^2+y^2-(4k+3)y=0

    x^2+y^2-(4k+3)y+\frac{(4k+3)^2}{4}-\frac{(4k+3)^2}{4}=0

    x^2+\left(y-\frac{(4k+3)}{2}\right)^2=\frac{(4k+3)^2}{4}

    Da qui si deduce la misura del raggio

    r=\frac{4k+3}{2}

    e le coordinate del centro:

    \left(0,\frac{4k+3}{2}\right)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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