Studiare le circonferenze generatrici di un fascio

Ciao potreste spiegarmi questo esercizio sulle generatrici di un fascio di circonferenze? Devo trovare le coordinate del centro del fascio di rette, la misura del raggio, le due circonferenze generatrici e gli eventuali punti base del fascio di circonferenza.

 

x^2+y^2-(4k+3)y=0

In Superiori - Algebra - Domanda di

Soluzioni

  • Per risolvere l'esercizio, scriviamo l'equazione del fascio nella forma

    x^2+y^2-3y-4ky=0

    Le circonferenze del fascio si intersecano in un unico punto base, ottenuto mettendo a sistema la circonferenza del fascio ottenuta per il valore del parametro k=0

    x^2+y^2-3y=0

    e la retta y=0, ottenuta scrivendo l'equazione nella forma

    4y=\frac{x^2+y^2-3y}{k}

    e facendo tendere k\to +\infty. Abbiamo quindi come unico punto base l'origine degli assi coordinati

    (0,0)

    La seconda circonferenza generatrice è la retta stessa.

    Tutte le circonferenze del fascio hanno centro sulla retta x=0 (asse delle ordinate), in particolare l'ordinata si ricava completando il quadrato

    x^2+y^2-(4k+3)y=0

    x^2+y^2-(4k+3)y+\frac{(4k+3)^2}{4}-\frac{(4k+3)^2}{4}=0

    x^2+\left(y-\frac{(4k+3)}{2}\right)^2=\frac{(4k+3)^2}{4}

    Da qui si deduce la misura del raggio

    r=\frac{4k+3}{2}

    e le coordinate del centro:

    \left(0,\frac{4k+3}{2}\right)

    Namasté!

    Risposta di Omega
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