Studiare le circonferenze generatrici di un fascio

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Ciao potreste spiegarmi questo esercizio sulle generatrici di un fascio di circonferenze? Devo trovare le coordinate del centro del fascio di rette, la misura del raggio, le due circonferenze generatrici e gli eventuali punti base del fascio di circonferenza.

 

x^2+y^2-(4k+3)y = 0

Domanda di

 
Soluzioni

  • Per risolvere l'esercizio, scriviamo l'equazione del fascio nella forma

    x^2+y^2-3y-4ky = 0

    Le circonferenze del fascio si intersecano in un unico punto base, ottenuto mettendo a sistema la circonferenza del fascio ottenuta per il valore del parametro k = 0

    x^2+y^2-3y = 0

    e la retta y = 0, ottenuta scrivendo l'equazione nella forma

    4y = (x^2+y^2-3y)/(k)

    e facendo tendere k → +∞. Abbiamo quindi come unico punto base l'origine degli assi coordinati

    (0,0)

    La seconda circonferenza generatrice è la retta stessa.

    Tutte le circonferenze del fascio hanno centro sulla retta x = 0 (asse delle ordinate), in particolare l'ordinata si ricava completando il quadrato

    x^2+y^2-(4k+3)y = 0

    x^2+y^2-(4k+3)y+((4k+3)^2)/(4)-((4k+3)^2)/(4) = 0

    x^2+(y-(4k+3)/(2))^2 = ((4k+3)^2)/(4)

    Da qui si deduce la misura del raggio

    r = (4k+3)/(2)

    e le coordinate del centro:

    (0,(4k+3)/(2))

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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