Soluzioni
  • Per poter scomporre i polinomi a esponenti letterali

    x^ny^n-3y^n-12+4x^n \ \ \ \mbox{e} \ \ \  x^{3n}-x^{2n}-2x^n+2

    bisogna avvalersi della tecnica di raccoglimento parziale: si tratta di raccogliere i fattori comuni tra due o più monomi in modo tale che sia possibile effettuare in seguito un raccoglimento totale.

    Consideriamo il polinomio

    x^ny^n-3y^n-12+4x^n=

    e osserviamo che y^n è il fattore comune dei primi due addendi, mentre 4 rappresenta il fattore comune degli ultimi due: procediamo con il raccoglimento parziale

    =y^n(x^n-3)+4(x^n-3)=

    Proprio perché il binomio x^n-3 è il fattore comune dei due addendi, siamo autorizzati a metterlo in evidenza

    =(x^n-3)(y^n+4)

    Abbiamo finito! L'ultima espressione rappresenta infatti la scomposizione del polinomio.

     

    Esaminiamo il polinomio

    x^{3n}-x^{2n}-2x^n+2=

    Il fattore comune dei primi due addendi è x^{2n}, mentre dagli ultimi due possiamo raccogliere -2. Nota: dobbiamo avvalerci delle proprietà delle potenze per determinare gli esponenti dei termini interni alle parentesi tonde

    \\ =x^{2n}(x^{3n-2n}-x^{2n-2n})-2(x^n-1)= \\ \\ =x^{2n}(x^n-x^{0})-2(x^n-1)= \\ \\ =x^{2n}(x^n-1)-2(x^n-1)=

    Siamo a un passo dalla conclusione: bisogna solamente raccogliere con la tecnica del raccoglimento totale il fattore x^n-1

    =(x^n-1)(x^{2n}-2)

    L'esercizio è concluso.

    Risposta di Ifrit
 
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