Area di un rettangolo inscritto in una circonferenza con rombo

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Superiori - Analisi

Ciao, è l'ultimo problema lo giuro ;) mi chiede di calcolare l'area di un rettangolo inscritto in una cironferenza inscritta a sua volta in un rombo.

 

In un rombo di lato l è inscritta una circonferenza; in tale circonferenza è inscritto il rettangolo che ha vertici nei punti di tangenza fra rombo e circonferenza. Sapendo che l'ampiezza degli angoli acuti è α, trova l'area del rettangolo.

[1/2 l^2sen^3(α)] ;)

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ciao Jumpy arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Innanzitutto disegna il problema e chama i vertici del rombo ABCD e il centro del rombo  O, l'angolo in B è α. 

    Siano GH e GJ le dimensioni del rettangolo in questione, inoltre sia OH=OG=OJ=OI=r, per il teorema di Carnot abbiamo:

    GJ^2 = OG^2+OJ^2-2OG OJ cos(α) = 2r^2-2r^2 cos(α) = 2r ^2(1-cos(α))

    mentre

    GH^2 = OH^2+OG^2-2 OH OH cos(π-α) = 2r^2-2r^2 cos(π-α) = 2r^2 (1+cos(α))

    Nell'ultima uguaglianza ho utilizzato: cos(π-α) = -cos(α)

     

    Da ciò segue che:

    GJ = r√(2(1-cos(α)))

    GH = r√(2(1+cos(α)))

    Di conseguenza l'area è:

    A = GJ×GH = r^2 √(4 (1-cos^2(α))) = 2r^2sin(α)

     

    Osserva ora che i triangoli OHB e OBC sono simili quindi possiamo impostare la proporzione:

    BC: OC = OB: OH

    Ora 

    BC = ell

    OH = r

    OB = BC cos(α/2) = ell cos(α /2)

    OC = BCsin(α/2) = ell sin(α/2)

    La proporzione si riscrive come:

    ell: ell sin(α/2) = ellcos(α/2): r

     

    Determiniamo r in funzione di alpha e elle:

    r = (ell^2 sin(α/2)cos(α/2))/(ell) = ell sin(α/2)cos(α/2) = (1)/(2) ell sin(α)

    Andando a sostituire otteniamo:

    A_(rett) = 2r^2sin(α) = 2·(1)/(4) ell^2 sin^2(α)sin(α) = (1)/(2) ell^2 sin^3(α)

     

    Bruttino l'esercizio :|

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Superiori - Analisi