Area di un rettangolo inscritto in una circonferenza con rombo

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Ciao, è l'ultimo problema lo giuro ;) mi chiede di calcolare l'area di un rettangolo inscritto in una cironferenza inscritta a sua volta in un rombo.

 

In un rombo di lato l è inscritta una circonferenza; in tale circonferenza è inscritto il rettangolo che ha vertici nei punti di tangenza fra rombo e circonferenza. Sapendo che l'ampiezza degli angoli acuti è α, trova l'area del rettangolo.

[1/2 l^2sen^3(α)] ;)

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ciao Jumpy arrivo :D

    Risposta di Ifrit

  • Innanzitutto disegna il problema e chama i vertici del rombo ABCD e il centro del rombo  O, l'angolo in B è α. 

    Siano GH e GJ le dimensioni del rettangolo in questione, inoltre sia OH=OG=OJ=OI=r, per il teorema di Carnot abbiamo:

    GJ^2= OG^2+OJ^2-2OG OJ \cos(\alpha)= 2r^2 -2r^2 \cos(\alpha)= 2r ^2(1-\cos(\alpha))

    mentre

    GH^2= OH^2+ OG^2-2 OH OH \cos(\pi -\alpha)=2r^2-2r^2 \cos(\pi -\alpha)=2r^2 (1+\cos(\alpha))

    Nell'ultima uguaglianza ho utilizzato: \cos(\pi-\alpha)= -\cos(\alpha)

     

    Da ciò segue che:

    GJ= r\sqrt{2(1-\cos(\alpha))}

    GH=r\sqrt{2(1+\cos(\alpha))}

    Di conseguenza l'area è:

    A= GJ\times GH= r^2 \sqrt{4 (1-\cos^2(\alpha))}= 2r^2\sin(\alpha)

     

    Osserva ora che i triangoli OHB e OBC sono simili quindi possiamo impostare la proporzione:

    BC: OC= OB: OH

    Ora 

    BC= \ell

    OH= r

    OB= BC \cos(\alpha/2)= \ell \cos(\alpha /2)

    OC= BC\sin(\alpha/2)= \ell \sin(\alpha/2)

    La proporzione si riscrive come:

    \ell: \ell \sin(\alpha/2)= \ell\cos(\alpha/2): r

     

    Determiniamo r in funzione di alpha e elle:

    r= \frac{\ell^2 \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\ell}= \ell \sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)= \frac{1}{2}\ell \sin(\alpha)

    Andando a sostituire otteniamo:

    A_{rett}=2r^2\sin(\alpha)= 2\cdot \frac{1}{4}\ell^2 \sin^2(\alpha)\sin(\alpha)= \frac{1}{2}\ell^2 \sin^3(\alpha)

     

    Bruttino l'esercizio :|

    Risposta di Ifrit
 
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