Soluzioni
  • Ciao Nepero arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • E' sicuramente un errore del libro :)

    Proviamo a risolverlo:

    \int \frac{1}{4x^2-28x+49}dx

    Osserviamo che al denominatore abbiamo un quadrato di binomio:

    4x^2-28x+49= (2x-7)^2

    Quindi l'integrale si esprime come:

    \int \frac{1}{(2x-7)^2}dx= \int (2x-7)^{-2}dx

    E' quasi un integrale immediato nella forma:

    \int f'(x)[f(x)]^{\alpha}dx= \frac{[f(x)]^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C \quad \alpha\ne -1

    Nel nostro caso:

    f(x)= 2x-7\implies f'(x) =2

    mentre 

    \alpha= -2

    quindi:

    \int \frac{1}{4x^2-28x+49}dx= \int (2x-7)^{-2}dx

    Quello che ci manca è la derivata prima di f che è 2 quindi moltiplichiamo e dividiamo per tale quantità:

    \int \frac{1}{4x^2-28x+49}dx= \int \frac{1}{2}\cdot 2(2x-7)^{-2}dx

    Portiamo fuori un mezzo:

    \int \frac{1}{2}\cdot 2(2x-7)^{-2}dx= \frac{1}{2}\int 2(2x-7)^{-2}dx

    Ora possiamo utilizzare l'integrale notevole:

    = \frac{1}{2}\cdot \frac{(2x-7)^{-2+1}}{-2+1}+C= \frac{1}{2}\cdot \frac{(2x-7)^{-1}}{-1}=

    -\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2x-7}+C

    Risposta di Ifrit
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