Discussione di Trigonometria con incognita

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Ciao mi aiutereste con una discussione ad una incognita in Trigonometria, per favore?

Il problema è questo: è data una semicirconferenza il cui diametro AB misura 2r; tracciare una corda AC in modo che, detto D l'estremo del raggio parallelo alla corda, si abbia: AC+CD=2r.

 

Le risposte del libro sono x=CAB=0° ; x=60°. Allora ragazzi io mi sono bloccata con la forma di bisezione del seno poichè il risultato non mi esce...

Domanda di Jumpy

 
Soluzioni

  • Ciao Jumpy, arrivo a risponderti...:)

    Risposta di Omega

  • Ci servono delle espressioni per AC,CD da sostituire nell'equazione

    AC+CD = 2r

    tali espressioni devono essere scritte in termini di x: = CAB.

    Per determinare AC si considera il triangolo rettangolo ACB, rettangolo in C in quanto inscritto in una semicirconferenza:

    AC = ABsin(CAB) = 2rcos(x)

    Per quanto riguarda CD, ragioniamo sul triangolo AKO dove K indica il punto di intersezione tra il lato AC e il segmento KO parallelo a CD, e tracciato a partire dal centro O della semicirconferenza.

    Poiché KO,CD sno segmenti paralleli compresi tra segmenti paralleli, sono congruenti e quindi 

    CD = KO

    Stesso discorso per i segmenti KC,OD:

    KC = OD = r

    Da qui possiamo dedurre la misura del lato AK

    AK = AC-KC = 2rcos(x)-r

    Ora possiamo applicare il teorema del coseno (Carnot) sul triangolo AKO per determinare la misura di KO:

    KO = AK^2+AO^2-2AK·AOcos(KAO)

    cioè

    KO^2 = (2rcos(x)-r)^2+r^2-2(2rcos(x)-r)(r)cos(x)

    Da qui non dovresti avere problemi: è pura meccanica...Laughing ma se dovessi avere difficoltà, non esitare a chiedere Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ma che cos'è K??? Da dove esce fuori?

    Risposta di Jumpy

  • Ho chiamato K il punto di intersezione tra il segmento OK parallelo al segmento CD e  tracciato a partire dal centro O della semicirconferenza...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • non riesco a continuare :(

    Risposta di Jumpy

  • Ok :)

    Il lato OK misura

    OK = √(-2r^2cos(x)+2r^2)

    Mettendo tutto insieme, l'equazione da risolvere è

    √(-2r^2cos(x)+2r^2)+2rcos(x) = 2r

    ossia

    √(-2r^2cos(x)+2r^2) = 2r-2rcos(x)

    eleviamo al quadrato entrambi i membri

    -2r^2cos(x)+2r^2 = 4r^2-8rcos(x)+4r^2cos^2(x)

    ossia

    4r^2cos^2(x)-6r^2cos(x)+2r^2 = 0

    che possiamo riscrivere come

    (1-2cos(x))(1-cos(x)) = 0

    Da cui si deducono le due soluzioni:

    x = 0 ; x = 60^(o)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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