Soluzioni
  • Ciao Brin, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Mi sembra che ti sia assolutamente chiara l'implicazione:

    "N vettori linearmente indipendenti di uno spazio vettoriale di dimensione N costituiscono una base dello spazio" (cioè: sono linearmente indipendenti, sono N e quindi costituiscono necessariamente un sistema di generatori dello spazio, e quindi costituiscono necessariamente una base dello spazio)

    Il problema riguarda l'implicazione:

    "Un sistema di N generatori di uno spazio vettoriale di dimensione N sono necessariamente linearmente indipendenti, e quindi costituiscono una base dello spazio".

    Se per assurdo ciò non fosse vero, detti v_1,...,v_n tali generatori dello spazio vettoriale, potremmo trovare N coefficienti a_1,...,a_n del campo degli scalari non tutti nulli e tali che

    a_1v_1+...+a_nv_n=0

    Supponiamo, per fissare le idee, che sia a_1\neq 0. Potremmo in tal caso scrivere

    a_2v_2+...+a_nv_n=-a_1v_1

    cioè

    v_1=-\frac{1}{a_1}(a_2v_2+...+a_nv_n)

    e di conseguenza avremmo che v_2,...,v_N è un sistema di generatori di V. In particolare, tali vettori, che sono (N-1), sarebbero linearmente indipendenti, e dunque costituirebbero una base di V, che però ha dimensione N.

    Assurdo...Wink

    Namasté!

     

     

    Risposta di Omega
  • Risposta spettacolare! :)) Grazie! :)

    Ecco, il punto è esattamente questo: mi sono fissata sul fatto che sti vettori erano generatori e non che erano N... furba eh! ;)

    Domanda sciocchissima: se la dimensione dello spazio è N, allora il numero massimo di vettori indipendenti è N. ma se io ho N vettori in uno spazio di dimensione N non posso affermare così, su due piedi, che quegli N vettori sono linearmente indipendenti, giusto? 

     

    Risposta di Brin
  • Embarassed grazie! Laughing

    ---

    No, non si può...controesempio: prendi in V di dimensione N un vettore v\neq \underline{0} dello spazio e considera gli N vettori:

    a_jv_j

    con a_{j}\in \mathbb{K} per ogni j=1,...,N. Sono N vettori linearmente dipendenti, tutti generati da v.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok, perfect! thanks a lot! :)))

    Risposta di Brin
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