Soluzioni
  • Ciao 904 arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Non devi necessariamente utilizzare Cauchy. 

    Il trucco è scomporre in fratti semplici la successione che interviene nella serie:

    a_n= \frac{2}{4n^2+8n+3}

    Scomponi il denominatore:

    4n^2+8n+3=(2n+3)(2n+1)

    la successione quindi si può esprimere come:

    a_n= \frac{2}{4n^2+8n+3}= \frac{A}{2n+1}+\frac{B}{2n+3}

    Calcoliamo il minimo comune multiplo al secondo membro:

    a_n= \frac{2}{4n^2+8n+3}= \frac{A(2n+3)+B(2n+1)}{(2n+1)(2n+3)}

    Il denominatore non serve più:

    A(2n+3)+B(2n+1)=2

    Da ciò segue che:

    2An+3A+2Bn +B=2

    (2A+2B)n+3A+B=2

    Il principio di identità dei polinomi ci permette di costruire il seguente sistema:

    \begin{cases}2A+2B=0\\ 3A+B=2\end{cases}

    Risolvendo il sistema otterrai:

    A=1, B=-1 

    di conseguenza:

    a_n= \frac{2}{4n^2+8n+3}=\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}

    La serie si riscrive come:

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}

    ed è una serie telescopica generalizzata la cui somma parziale k-esima è:

    \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}= \frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}

    La somma della serie si ottiene mandando k a più infinito membro a membro:

    \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{2}{4n^2+8n+3}= \lim_{k\to \infty}\sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=

    \lim_{k\to\infty}\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}= \frac{1}{3}

    Risposta di Ifrit
  • ho capito grazie quindi basta che faccio la somma parziale in questo caso e la faccio tendere a 0 e so automaticamente la somma e se è convergente? però ci sono alcune come quella che ho messo sul forum che non è possibile fare questo

    Risposta di 904
  • Sì non  è un metodo generale purtroppo :(

    Le serie di cui conosciamo la somma esatta sono davvero pochissime. Quella che abbiamo di fronte però è una serie telescopica quindi non abbiamo problemi. 

    PS: Qual è la serie che hai inserito nel forum? 

    Risposta di Ifrit
  • Questa (carattere di una serie con logaritmo) ma comunque non ho capito come hai fatto a dire che

    \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}

    come fai a dire questo?

    Risposta di 904
  • Per adesso concentriamoci su questa ;)

    Per capire in quale forma si presenta la somma parziale scrivi alcuni termini della stessa:

    S_k= \sum_{n=1}^k \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}

    k= 1\implies S_1= \frac{1}{3}-\frac{1}{5}

    k=2\implies S_2=S_1+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}=

    =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}= \frac{1}{3}-\frac{1}{7}

    k=3\implies S_3=S_2+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}=

    \frac{1}{3}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{9}= \frac{1}{3}-\frac{1}{9}

    Ad ogni passo rimane il primo termine \frac{1}{3} e l'ultimo termine.

    Al passo k avremo quindi:

    S_k= \sum_{n=1}^k \frac{1}{2n+1}-\frac{1}{2n+3}= \frac{1}{3}-\frac{1}{2k+3}

    Risposta di Ifrit
 
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