Correzione integrale fratto con esponenziale

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Ciao mi dite dov'è l'errore nel calcolo del seguente integrale?

 

∫(1)/(3+2e^x)dx

 

Ho diviso l'integrale nella somma di due integrali: il secondo viene -(1)/(2)∫-e^(-x)dx e dunque -(1)/(2)e^(-x)+c, ma il libro riporta (x)/(3)-(x)/(3)log(3+2e^x)+c. Dov'è l'errore? Grazie mille.

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Come hai fatto a dividere l'integrale?.........Laughing

    Risposta di Omega

  • hai ragione scusa ho sbagliato allora li devo fare una sostituzione giusto?

     

    Risposta di 904

  • Esatto: si procede integrando per sostituzione e si comincia col porre t = e^(x), da cui x = log(t) e quindi

    dx = (1)/(t)dt

    L'integrale si riscrive quindi nella forma

    ∫(1)/(t(3+2t))dt

    Ora facciamo ricorso al metodo di integrazione delle funzioni razionali: poniamo

    (1)/(t(3+2t)) = (A)/(t)+(B)/(3+2t) = (3A+2At+Bt)/(t(3+2t))

    e richiediamo che

    2A+B = 0

    3A = 1

    da cui

    A = (1)/(3),B = -(2)/(3)

    Riscriviamo l'integrale come

    ∫[(1)/(3t)-(2)/(3(3+2t))]dt

    Spezziamo l'integrale per linearità

    ∫(1)/(3t)dt-∫(2)/(3(3+2t))dt

    Possiamo integrare (occhio alla costante moltiplicativa nel secondo integrale, dobbiamo attenerci al teorema di derivazione della funzione composta)

    (1)/(3)log(t)-(1)/(3)log(3+2t)+c

    (i moduli non servono perché l'esponenziale t = e^(x) è una quantità sempre positiva)

    Effettuaimo la sostituzione al contrario

    (1)/(3)log(e^x)-(1)/(3)log(3+2e^x)+c

    Per definizione di logaritmo naturale, riscriviamo

    (1)/(3)x-(1)/(3)log(3+2e^x)+c

    Abbiamo finito Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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