Soluzioni
  • Per calcolare l'integrale indefinito

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx

    procediamo con il metodo di integrazione per sostituzione.

    Poniamo t=2x e calcoliamo il nuovo differenziale

    dt=2dx \ \ \ \to \ \ \ dx=\frac{1}{2}\,dt

    Operando le sostituzioni, l'integrale

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx=

    diventa

    =\int\frac{1}{\sin(t)}\cdot\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(t)}\,dt

    Il prossimo passaggio prevede di usare la sostituzione tipica per integrali di funzioni goniometriche che coinvolge la tangente:

    z=\tan\left(\frac{t}{2}\right)

    Invertiamo l'espressione applicando l'arcotangente ai due membri

    \frac{t}{2}=\arctan(z) \ \ \ \to \ \ \ t=2\arctan(z)

    dopodiché calcoliamo il nuovo differenziale derivando ciascun membro per la relativa variabile.

    dt=2\cdot\frac{1}{1+z^2}\,dz \ \ \ \to \ \ \ dt=\frac{2}{1+z^2}\,dz

    Grazie alla formula parametrica del seno

    \sin(t)=\frac{2z}{1+z^2}

    l'integrale

    \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(t)}\,dt=

    si tramuta nel seguente

    \\ =\frac{1}{2}\int\frac{1}{\dfrac{2z}{1+z^2}}\cdot\frac{2}{1+z^2}\,dz= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int\frac{1+z^2}{2z}\cdot\frac{2}{1+z^2}\,dz=

    Semplifichiamo 1+z^2 \ \mbox{e} \ 2 così da ricondurci all'integrale fondamentale

    =\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}\,dz=\frac{1}{2}\ln(|z|)+c=

    dove c è costante reale.

    A questo punto non ci resta che ripristinare la variabile x procedendo con le sostituzioni all'indietro.

    Sostituiamo z=\tan\left(\frac{t}{2}\right)

    =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right|\right)+c=

    e quindi t=2x, dopodiché semplifichiamo l'espressione che ne consegue

    \\ =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(\frac{2x}{2}\right)\right|\right)+c= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(x\right)\right|\right)+c

    In definitiva, possiamo concludere che

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(x\right)\right|\right)+c

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Wiki - Analisi Matematica