Integrale di 1/sin(2x) per sostituzione

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Avrei bisogno di una mano per calcolare l'integrale di una funzione goniometrica usando un'opportuna sostituzione trigonometrica. Le ho provate tutte, senza ottenere il risultato del libro.

 

Calcolare il seguente integrale indefinito

 

\int\frac{1}{\sin(2x)}\, dx

 

Grazie.

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Per calcolare l'integrale indefinito

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx

    procediamo con il metodo di integrazione per sostituzione.

    Poniamo t=2x e calcoliamo il nuovo differenziale

    dt=2dx \ \ \ \to \ \ \ dx=\frac{1}{2}\,dt

    Operando le sostituzioni, l'integrale

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx=

    diventa

    =\int\frac{1}{\sin(t)}\cdot\frac{1}{2}\,dt=\frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(t)}\,dt

    Il prossimo passaggio prevede di usare la sostituzione tipica per integrali di funzioni goniometriche che coinvolge la tangente:

    z=\tan\left(\frac{t}{2}\right)

    Invertiamo l'espressione applicando l'arcotangente ai due membri

    \frac{t}{2}=\arctan(z) \ \ \ \to \ \ \ t=2\arctan(z)

    dopodiché calcoliamo il nuovo differenziale derivando ciascun membro per la relativa variabile.

    dt=2\cdot\frac{1}{1+z^2}\,dz \ \ \ \to \ \ \ dt=\frac{2}{1+z^2}\,dz

    Grazie alla formula parametrica del seno

    \sin(t)=\frac{2z}{1+z^2}

    l'integrale

    \frac{1}{2}\int\frac{1}{\sin(t)}\,dt=

    si tramuta nel seguente

    \\ =\frac{1}{2}\int\frac{1}{\dfrac{2z}{1+z^2}}\cdot\frac{2}{1+z^2}\,dz= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\int\frac{1+z^2}{2z}\cdot\frac{2}{1+z^2}\,dz=

    Semplifichiamo 1+z^2 \ \mbox{e} \ 2 così da ricondurci all'integrale fondamentale

    =\frac{1}{2}\int\frac{1}{z}\,dz=\frac{1}{2}\ln(|z|)+c=

    dove c è costante reale.

    A questo punto non ci resta che ripristinare la variabile x procedendo con le sostituzioni all'indietro.

    Sostituiamo z=\tan\left(\frac{t}{2}\right)

    =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(\frac{t}{2}\right)\right|\right)+c=

    e quindi t=2x, dopodiché semplifichiamo l'espressione che ne consegue

    \\ =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(\frac{2x}{2}\right)\right|\right)+c= \\ \\ \\ =\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(x\right)\right|\right)+c

    In definitiva, possiamo concludere che

    \int\frac{1}{\sin(2x)}\,dx=\frac{1}{2}\ln\left(\left|\tan\left(x\right)\right|\right)+c

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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