Soluzioni
  • Ciao Nepero, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo

    x=2\tan{(t)}

    per cui

    dx=2\sec^2{(t)}dt

    Otteniamo

    \int{4\tan^2{(t)}\sqrt{4\tan^2{(t)}+4}2\sec^2{(t)}dt}

    grazie all'identità fondamentale della trigonometria, passiamo a

    \int{8\tan^2{(t)}\sqrt{\frac{4}{\cos^2{(t)}}}\sec^2{(t)}dt}

    cioè

    16\int{\tan^2{(t)}\sec^3{(t)}dt}

    Ora facciamo ricorso all'identità trigonometrica

    \tan^2{(t)}=\sec^2{(t)}-1

    per cui l'integrale diventa

    16\int{(\sec^5{(t)}-\sec^3{(t)})dt}

    ossia

    16\int{(\sec^5{(t)}dt}-16\int{\sec^3{(t)})dt}

    A questo punto: se conosci le formule di riduzione possiamo proseguire, in caso contrario l'integrale diventa un massacro...Le conosci?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Quali intendi ? Non mi sembra di conoscerle comunque e molto difficile così quella e una sostituzione notevole?
    Risposta di Nepero
  • Se intendi la sostituzione x=cost\cdot \tan{(t)} sì, è notevole, perché ti permette di eliminare la radice quadrata.

    Per le formule di riduzione, intendo (nel caso della secante)

    \int{\sec^n{(t)}dt}=\frac{\sec^{n-1}{(t)}\sin{(t)}}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int{\sec^{n-2}{(t)}dt}

    che altro non è che l'applicazione della formula di integrazione per parti, generalizzata sul grado dell'esponente. Oddio, non che sia complicato dimostrarla (basta, appunto, integrare per parti). Questa formula ci permette però di riscrivere il precedente integrale come

    4\tan{(t)}\sec^3{(t)}-2\tan{(t)}\sec{(t)}-2\int{\sec{(t)}dt}

    L'integrale della secante è

    \int{\sec{(t)}dt}=\log{(\tan{(t)}+\sec{(t)})}+c

    (si calcola, ad esempio, con le formule parametriche)

    A questo punto abbiamo una primitiva: effettuiamo la sostituzione inversa, che è

    t=\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}

    per cui

    \tan{(t)}=\frac{x}{2}

    e

    \sec{\left(\arctan{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)}=\sqrt{\frac{x^2}{4}+1}

    e con un po' di smanettamenti algebrici si giunge ad una primitiva.

    ---

    Non mi viene in mente un modo più veloce per calcolare l'integrale, devo pensarci un po' su.

    Namsté!

    Risposta di Omega
  • Ma a noi queste cose non le hanno spiegate
    Risposta di Nepero
  • Non serve che vengano spiegate: tutto quello che è richiesto nel precedente svolgimento è:

    - la conoscenza della trigonometria

    - la formula di integrazione per parti

    Tra l'altro, vedo dal tuo profilo che sei sotto il ramo Scienze Matematiche, quindi non mi suona affatto nuovo che lo spirito dei corsi che frequenti sia sulla linea dell' "arrangiarsi". In stile Bera Grylls, diciamo Laughing

    Se mi verrà in mente un metodo più semplice, lo posterò: non credo però che questo integrale possa rientrare nella famiglia degli integrali semplici da risolvere...

    Namasté!

    Risposta di Omega
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