Soluzioni
  • L'esercizio chiede quindi di calcolare l'integrale di una funzione trigonometrica, ossia di determinare

    \int\frac{1}{1+\cos(3x)}dx=

    Calcoliamo l'integrale per sostituzione, ponendo y=3x, da cui x=\frac{y}{3}. Il differenziale associato alla sostituzione è dx=\frac{1}{3}dy. Mediante questa sostituzione l'integrale diventa

    =\int\frac{1}{1+\cos(y)}\cdot\frac{1}{3}dy=

    e utilizzando le proprietà degli integrali (omogeneità) possiamo trasportare fuori dal simbolo di integrazione la costante moltiplicativa.

    =\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+\cos(y)}dy=(\bullet)

    Usiamo le formule parametriche, ci permetteranno di passare da un integrale di una funzione trigonometrica ad un integrale di una funzione razionale fratta.

    Si pone quindi t=\tan\left(\frac{y}{2}\right), le formule parametriche permettono di esprimere il coseno di y in funzione di t

    \cos(y)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

    Dobbiamo necessariamente determinare il nuovo differenziale, ma prima dobbiamo esprimere la variabile y in funzione di t, e dalla relazione appena scritta, applicare membro a membro la funzione arcocoseno, in questo modo al primo membro rimarrà solo y perché l'arcocoseno è la funzione inversa del coseno:

    y=\arccos\left(\frac{1-t^2}{1+t^2}\right)

    Derivando i membri rispetto alle rispettive variabili otteniamo

    dy=\frac{2}{t^2+1}dt

    (Nel caso servisse ecco come calcolare la derivata dell'arcocoseno)

    Sostituiamo tutto nell'integrale

    (\bullet)=\frac{1}{3}\int\frac{1}{1+\frac{1-t^2}{1+t^2}}\cdot\frac{2}{1+t^2}dt=

    che con semplici calcoli algebrici otteniamo

    \\ =\frac{2}{3}\int\frac{1}{1+t^2+1-t^2}dt= \\ \\ \\=\frac{2}{3}\int\frac{1}{2}dt= \\ \\ \\ =\frac{1}{3}\int 1 dt=

    L'integrale di 1 è noto

    =\frac{1}{3}t+c=

    Per giungere al risultato bisogna ripristinare la variabile x tenendo  a mente le sostituzioni effettuate

    \\ =\frac{1}{3}\tan\left(\frac{y}{2}\right)+c=\\ \\ \\=\frac{1}{3}\tan\left(\frac{3}{2}x\right)+c

    con c costante reale.

    Prima dei saluti alcuni suggerimenti. Puoi:

    - sfruttare la scheda degli esercizi svolti sugli integrali di funzioni trigonometriche così da esercitarti in vista degli esami o compiti in classe;

    - usare il tool per calcolare gli integrali online per verificare la correttezza dei risultati.

    Risposta di Ifrit
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