Soluzioni
  • Ciao Devil51, come già hai fatto giustamente notare per studiare la convergenza assoluta di una serie bisogna studiare la convergenza (standard) della stessa serie con argomento in valore assoluto. Questa è la definizione di convergenza assoluta.

    Veniamo alla serie che ci proponi. Il criterio di condensazione prevede che, detta {an}n la successione della serie, se essa è monotona non crescente, cioè tale che

    a_1\geq a_2\geq ...\geq a_n\geq...

    allora la serie \sum a_n converge se e solo se converge la serie

    \sum 2^n a_{2^n}

    Noi dobbiamo ragionare sulla serie

    \sum_{n=2}^{+\infty}\left|\frac{1}{n\log(n)}\right|

    che soddisfa l'ipotesi di base del criterio di condensazione. Infatti

    \left|\frac{1}{(n+1)\ln(n+1)}\right|\leq \left|\frac{1}{n\ln(n)}\right|

    perchè dividendo per un numero più grande ottieni un numero più piccolo.  Possiamo allora applicare il criterio. Studiamo la convergenza della serie

    \sum_{n=2}^{+\infty}\left|\frac{2^n}{2^n\log(2^n)}\right|

    in cui abbiamo moltiplicato l'argomento per 2n e sostituito gli indici n con 2n, come richiesto dal criterio di condensazione.

    Quest'ultima serie non converge perchè

    \sum_{n=2}^{+\infty}\left|\frac{2^n}{2^n\log(2^n)}\right|=\sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n\ln(2)}

    dove nel passaggio abbiamo semplificato i 2n e usato una ben nota proprietà dei logaritmi.

    Se siamo d'accordo che la serie

    \sum_{n=2}^{+\infty}\left|\frac{1}{n}\right|

    diverge, dato che essa coincide con la serie armonica

    \sum_{n=2}^{+\infty}\frac{1}{n}

    allora il nostro esercizio è concluso (ln(2)) è infatti una costante). Laughing

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
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