Criterio di condensazione per serie e assoluta convergenza

Question

Ciao a tutti, vorrei una mano per risolvere un esercizio sullo studio della convergenza assoluta di una serie-esercizio in cui devo applicare il criterio di condensazione. Ecco la serie: Serie: Σ_(n = 2)^(+∞)|(1)/(nlog(n))| Si deve studiare l'assoluta convergenza. Bisogna utilizzare il criterio di condensazione? Help me!

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao Devil51, come già hai fatto giustamente notare per studiare la convergenza assoluta di una serie bisogna studiare la convergenza (standard) della stessa serie con argomento in valore assoluto. Questa è la definizione di convergenza assoluta.

Veniamo alla serie che ci proponi. Il criterio di condensazione prevede che, detta {a_n}_n la successione della serie, se essa è monotona non crescente, cioè tale che

allora la serie converge se e solo se converge la serie

Noi dobbiamo ragionare sulla serie

Σ_(n = 2)^(+∞)|(1)/(nlog(n))|

che soddisfa l'ipotesi di base del criterio di condensazione. Infatti

perchè dividendo per un numero più grande ottieni un numero più piccolo. Possiamo allora applicare il criterio. Studiamo la convergenza della serie

Σ_(n = 2)^(+∞)|(2^n)/(2^nlog(2^n))|

in cui abbiamo moltiplicato l'argomento per 2ⁿ e sostituito gli indici n con 2ⁿ, come richiesto dal criterio di condensazione.

Quest'ultima serie non converge perchè

Σ_(n = 2)^(+∞)|(2^n)/(2^nlog(2^n))| = Σ_(n = 2)^(+∞)(1)/(nln(2))

dove nel passaggio abbiamo semplificato i 2ⁿ e usato una ben nota proprietà dei logaritmi.

Se siamo d'accordo che la serie

Σ_(n = 2)^(+∞)|(1)/(n)|

diverge, dato che essa coincide con la serie armonica

allora il nostro esercizio è concluso (ln(2)) è infatti una costante).

Namasté - Agente Ω