Soluzioni
  • Ciao 904, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{4n^2+8n+3}

    Risposta di 904
  • Per prima cosa riscriviamo la serie come

    2\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{(2n+3)(2n+1)}}

    dopo aver scomposto il denominatore. 

    Cerchiamo di scrivere il termine generale come somma di due frazioni con denominatori lineari:

    \frac{1}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{A}{2n+3}+\frac{B}{2n+1}=

    ci si comporta esattamente come si fa con gli integrali nell'applicazione del metodo di integrazione delle funzioni razionali...

    =\frac{2An+A+2Bn+3B}{(2n+3)(2n+1)}=\frac{(2A+2B)n+(A+3B)}{(2n+3)(2n+1)}

    Noi vogliamo che, affinché l'uguaglianza sia verificata

    2A+2B=0

    A+3B=1

    da cui si ricava

    A=-\frac{1}{2},B=\frac{1}{2}

    Possiamo dunque riscrivere la serie di partenza nella forma seguente (moltiplicando nel frattempo entrambe le frazioni per 2)

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2n+1}}-\sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{1}{2n+3}}

    Si scopre così che abbiamo a che fare con una serie telescopica, infatti sostituendo i valori degli indici otteniamo

    =\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-...=\frac{1}{3}

    Abbiamo finito! :) 

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ma si può sempre usare questo metodo per trovare l'espressione del termine generale della serie?

     

    Risposta di 904
  • Solo se la serie è telescopica. Nel 90% dei casi in cui ti viene richiesto di determinare la somma della serie, ti trovi davanti ad una serie telescopica "mascherata".

    Nel restante 10% dei casi la serie invece è riconducibile ad una delle serie notevoli.

    Tutto questo perché calcolare la somma di una serie (a meno che non si disponga di un calcolatore) è possibile in un numero veramente limitato di casi.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ma io ricordo che nel 10 % dei casi che dici tu il prof ci ha detto che c'è un modo con lo studio di funzioni di calcolare l'espressione del termine generale e di conseguenza la somma se non ti creo disturbo potresti darmi informazioni riguardo questo metodo?

     

    Risposta di 904
  • Aspetta: calcolare un'espressione equivalente del termine generale della serie è una cosa, e per farlo ci si può sbizzarrire in moltissimi modi: il tutto, naturalmente, è finalizzato al calcolo della serie.

    Così, su due piedi, non mi viene in mente il metodo di cui parli, detto così è un po' generico... di che si tratta?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • dice che si può fare lo studio delle funzioni della serie e da li riuscirne a calcolare la somma ecc

     

    Risposta di 904
  • se nn ti viene in mente niente nn fa niente così se mi dai conferma chiudiamo

     

    Risposta di 904
  • E' che ne so quanto prima... XD

    Se hai un esempio in cui il tuo professore ha usato questo metodo, posta solo il testo della serie in una nuova domanda, così risolvendolo ho modo di capire a quale metodo ti riferisci.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • purtroppo no l'ha detto solo a parole lol ma non mi ha illustrato come fare comunque grazie mille

     

    Risposta di 904
 
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