Soluzioni
  • Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Integrale interessante :)

    \int{\frac{x^2}{(x^2-9)^{\frac{3}{2}}}dx}

    Procediamo calcolando l'integrale per sostituzione: sostituendo t=\sqrt{x^2-9} si trova x^2=t^2+9 e quindi x=\sqrt{t^2+9}

    dx=\frac{1}{2\sqrt{t^2+9}}2tdt=\frac{t}{\sqrt{t^2+9}}dt

    Sostituendo tutto nell'integrale:

    \int{\frac{\sqrt{t^2+9}}{t^2}dt}

    Ora riscriviamo l'integranda nel modo seguente

    \int{\frac{\sqrt{1+\frac{9}{t^2}}}{t}dt}

    e poniamo

    z=\frac{3}{t}

    da cui

    t=\frac{3}{z}dz

    e quindi

    dt=-\frac{3}{z^2}dz

    L'integrale diventa

    -\int{\frac{\sqrt{1+z^2}}{z}dz}

    A questo punto, ci si trova di fronte ad un bivio: ci sono due modi di procedere: uno consiste nell'utilizzare le funzioni iperboliche, l'altro consiste nel ricorrere alle funzioni standard non iperboliche.

    Dunque, ti chiedo: hai visto le funzioni iperboliche nel tuo corso di studi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • no le funzioni iperboliche non le ho viste..come continuo con le formule standard?

    Risposta di WhiteC
  • In tal caso è meglio procedere sin dall'inizio con la sostituzione

    x=\frac{3}{\cos{(t)}}

    per cui otteniamo

    dx=3\tan{(t)}\frac{1}{\cos{(t)}}dt

    e dunque l'integrale diventa

    \frac{1}{9}\int{9\csc^2{(t)}\sec{(t)}dt}

    In questo caso, l'utilizzo delle identità trigonometriche e la conoscenza delle primitive di tangente, secante e cosecante permette di giungere alla primitiva.

    Con le funzioni trigonometriche come siamo messi?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • con quelle bene :D

    Risposta di WhiteC
  • Ti sto scrivendo i passaggi, non mi sono dimenticato di questa D&R Wink solo che il procedimento dettagliato è molto lungo...comunque, è in arrivo Laughing

    Risposta di Omega
  • Ok Laughing in tal caso:

    \int{\frac{x^2}{(x^2-9)^\frac{3}{2}}dx}

    raccogliamo x^2 all'interno della radice

    \int{\frac{x^2}{\left[x^2\left(1-\frac{9}{x^2}\right)\right]^\frac{3}{2}}dx}

    da cui

    \int{\frac{x^2}{x^3\left[\left(1-\frac{9}{x^2}\right)\right]^\frac{3}{2}}dx}

    \int{\frac{1}{x\left(1-\frac{9}{x^2}\right)^\frac{3}{2}}dx}

    operiamo la sostituzione \cos{(t)}=3/x, per cui

    x=\frac{3}{\cos{(t)}}

    e quindi

    dx=3\tan{(t)}\frac{1}{\cos{(t)}}dt

    Otteniamo

    \int{\frac{1}{\frac{3}{\cos{(t)}}\left(1-\cos^2{(t)}\right)^\frac{3}{2}}3\frac{\tan{(t)}}{\cos{(t)}}dt}

    Identità fondamentale della trigonometria

    \int{\frac{1}{\frac{3}{\cos{(t)}}\left(\sin^2{(t)}\right)^\frac{3}{2}}3\frac{\tan{(t)}}{\cos{(t)}}dt}

    otteniamo quindi

    \int{\frac{1}{\frac{\sin^2{(t)}\cos{(t)}}dx}

    che è

    \int{\csc^2{(t)}\sec{(t)}dt}

    Scritto in una forma equivalente

    \int{(\cot^2{(t)}+1)\sec{(t)}dt}

    ossia

    \int{(\sec{(t)}+\csc{(t)}\cot{(t)})dt}

    spezziamo l'integrale per linearità

    \int{\sec{(t)}dt}+\int{\csc{(t)}\cot{(t)})dt}

    Ora osserviamo che

    \int{\sec{(t)}dt}=\log{(\tan{(t)}+\sec{(t)})}+c_1

    e che

    \int{\csc{(t)}\cot{(t)})dt}=-\csc{(t)}+c_2

    A questo punto si effettua la sostituzione al contrario :)

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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