Integrale per sostituzione fratto con radice

Non so come svolgere un integrale che ho provato a integrare per sostituzione, per favore mi aiutate?

∫ x^2 / [ (x^2-9) sqrt(x^2-9) ] dx

Si fa per sostituzione, giusto? Ho provato a sostituire t=sqrt x^2-9 o semplicemente x^2-9 ma non mi trovo. :(

Domanda di WhiteC
Soluzioni

Ciao WhiteC, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Integrale interessante :)

∫(x^2)/((x^2-9)^((3)/(2)))dx

Procediamo calcolando l'integrale per sostituzione: sostituendo t = √(x^2-9) si trova x^2 = t^2+9 e quindi x = √(t^2+9)

dx = (1)/(2√(t^2+9))2tdt = (t)/(√(t^2+9))dt

Sostituendo tutto nell'integrale:

∫(√(t^2+9))/(t^2)dt

Ora riscriviamo l'integranda nel modo seguente

∫(√(1+(9)/(t^2)))/(t)dt

e poniamo

z = (3)/(t)

da cui

t = (3)/(z)dz

e quindi

dt = -(3)/(z^2)dz

L'integrale diventa

-∫(√(1+z^2))/(z)dz

A questo punto, ci si trova di fronte ad un bivio: ci sono due modi di procedere: uno consiste nell'utilizzare le funzioni iperboliche, l'altro consiste nel ricorrere alle funzioni standard non iperboliche.

Dunque, ti chiedo: hai visto le funzioni iperboliche nel tuo corso di studi?

Namasté!

Risposta di Omega

no le funzioni iperboliche non le ho viste..come continuo con le formule standard?

Risposta di WhiteC

In tal caso è meglio procedere sin dall'inizio con la sostituzione

x = (3)/(cos(t))

per cui otteniamo

dx = 3tan(t)(1)/(cos(t))dt

e dunque l'integrale diventa

(1)/(9)∫9csc^2(t)sec(t)dt

In questo caso, l'utilizzo delle identità trigonometriche e la conoscenza delle primitive di tangente, secante e cosecante permette di giungere alla primitiva.

Con le funzioni trigonometriche come siamo messi?

Namasté!

Risposta di Omega

con quelle bene :D

Risposta di WhiteC

Ti sto scrivendo i passaggi, non mi sono dimenticato di questa D&R Wink solo che il procedimento dettagliato è molto lungo...comunque, è in arrivo Laughing

Risposta di Omega

Ok Laughing in tal caso:

∫(x^2)/((x^2-9)^(3)/(2))dx

raccogliamo x^2 all'interno della radice

∫(x^2)/([x^2(1-(9)/(x^2))]^(3)/(2))dx

da cui

∫(x^2)/(x^3[(1-(9)/(x^2))]^(3)/(2))dx

∫(1)/(x(1-(9)/(x^2))^(3)/(2))dx

operiamo la sostituzione cos(t) = 3/x, per cui

x = (3)/(cos(t))

e quindi

dx = 3tan(t)(1)/(cos(t))dt

Otteniamo

∫(1)/((3)/(cos(t))(1-cos^2(t))^(3)/(2))3(tan(t))/(cos(t))dt

Identità fondamentale della trigonometria

∫(1)/((3)/(cos(t))(sin^2(t))^(3)/(2))3(tan(t))/(cos(t))dt

otteniamo quindi

∫(1)/(fracsin^2(t)cos(t)dx)

che è

∫csc^2(t)sec(t)dt

Scritto in una forma equivalente

∫(cot^2(t)+1)sec(t)dt

ossia

∫(sec(t)+csc(t)cot(t))dt

spezziamo l'integrale per linearità

∫sec(t)dt+∫csc(t)cot(t))dt

Ora osserviamo che

∫sec(t)dt = log((tan(t)+sec(t)))+c_1

e che

∫csc(t)cot(t))dt = -csc(t)+c_2

A questo punto si effettua la sostituzione al contrario :)

Namasté!

Risposta di Omega

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