Soluzioni
  • In effetti, quello proposto è un cosiddeto integrale con delta negativo (click per leggere il metodo generale) ossia l'integrale di una funzione razionale fratta la quale ha per denominatore un trinomio di secondo grado con delta negativo.

    Per risolvere

    \int\frac{1}{9+4x^2}dx=(\bullet)

    possiamo procedere in due modi diversi, quello standard consiste nel ricondursi ad un integrale che ha come risultato un'arcotangente, a meno di costanti additive. In particolare interverrà il seguente integrale fondamentale in forma generale

    \int\frac{h'(x)}{1+[h(x)]^2}dx=\arctan(h(x))+c

    Dedichiamoci alla risoluzione dell'integrale proposto e come primo passo raccogliamo totalmente 9 al denominatore

    (\bullet )=\int\frac{1}{9\left(1+\frac{4}{9}x^2\right)}dx=

    Grazie alle proprietà delle potenze possiamo scrivere il termine \frac{4}{9}x^2 come un unico quadrato, ossia \left(\frac{2}{3}x\right)^2, possiamo così esprimere l'integrale come segue

    =\int\frac{1}{9\left(1+\left(\frac{2}{3}x\right)^2\right)}dx=

    Osserviamo che se al numeratore avessimo la derivata del termine \frac{2}{3}x, cioè \frac{2}{3}, ci saremmo ricondotti all'integrale notevole scritto in precedenza.

    Non disperiamo: possiamo sempre moltiplicare e dividere per il fattore di cui abbiamo bisogno

    =\int\frac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}\cdot 9\left(1+\left(\frac{2}{3}x\right)^2\right)}dx=

    Semplifichiamo

    \\ =\int\frac{\frac{2}{3}}{2\cdot 3\left(1+\left(\frac{2}{3}x\right)^2\right)}dx= \\ \\ \\ = \frac{1}{6}\int\frac{\frac{2}{3}}{1+\left(\frac{2}{3}x\right)^2}dx=

    e scriviamo il risultato

    =\frac{1}{6}\arctan\left(\frac{2}{3}x\right)+c

    con c costante reale.

    ***

    Per completezza riporto anche l'altra strategia risolutiva che richiede la formula risolutiva

    \int\frac{1}{ax^2+bx+c}dx=\frac{2\arctan\left(\frac{2a x+b}{\sqrt{-\Delta}}\right)}{\sqrt{-\Delta}}+C

    valida solamente quando il discriminante \Delta è negativo.

    Nel nostro caso a=4,\ b=0, \ c=9 pertanto

    \Delta=b^2-4ac=-144\implies\sqrt{-\Delta}=\sqrt{144}=12

    Possiamo concludere che

    \frac{1}{4x^2+9}dx=\frac{2\arctan\left(\frac{8 x}{12}\right)}{12}+C=\frac{1}{6}\arctan\left(\frac{2}{3}x\right)+C

    dove nell'ultimo passaggio abbiamo ridotto le frazioni ai minimi termini.

    Risposta di Ifrit
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