Soluzioni
  • Disponiamo di quattro vettori di \mathbb{R}^4

    \\ \mathbf{v}_1=(1,0,1,0) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(1,1,1,0) \\ \\ \mathbf{v}_3=(0,0,0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_4=(1,2,3,-1)

    e sappiamo che f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 è un'applicazione lineare tale da soddisfare le seguenti condizioni:

    \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è una base del nucleo di f

    f(\mathbf{v}_3)=(1,2,1,2) \ \ \ ; \ \ \ f(\mathbf{v}_4)=(1,2,3,-1)

    In generale, il nucleo di un'applicazione lineare F:V \to W è un sottospazio vettoriale del dominio formato dai vettori di V la cui immagine mediante F è lo zero di W.

    Poiché \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\} è una base del nucleo di f, i due vettori appartengono a \mbox{Ker}(f), cosicché la loro immagine tramite f è lo zero di \mathbb{R}^4.

    In altri termini, l'esercizio chiede di stabilire se esiste e se è unica un'applicazione lineare f:\mathbb{R}^4 \to \mathbb{R}^4 tale che

    \\ f(\mathbf{v}_1)=(0,0,0,0) \ \ ; \ \ f(\mathbf{v}_2)=(0,0,0,0) \\ \\ f(\mathbf{v}_3)=(1,2,1,2) \ \ ; \ \ f(\mathbf{v}_4)=(1,2,3,-1)

    Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare definita da immagini di vettori stabilisce che se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è una base di \mathbb{R}^4, allora f esiste ed è unica. In caso contrario non potremo dire nulla a priori e bisognerà verificare la coerenza delle condizioni che individuano f.

    Quattro vettori di \mathbb{R}^4 ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro, ossia se e solo se il rango della matrice che li ha per righe ha rango uguale a 4.

    Componiamo la matrice A che ha per righe i vettori \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4

    A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & -1\end{pmatrix}

    e calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha un solo elemento non nullo. Dopo qualche passaggio si ottiene

    \mbox{det}(A)=-2 \neq 0

    pertanto, per il criterio dei minori, il rango di A è 4.

    Per quanto detto in precedenza, \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3, \mathbf{v}_4\} è una base di \mathbb{R}^4 e quindi f esiste ed è unica.

    È fatta!

    Risposta di Galois
 
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