Dire se esiste un'applicazione lineare con nucleo e immagini

Disponiamo di quattro vettori di

e sappiamo che è un'applicazione lineare tale da soddisfare le seguenti condizioni:

è una base del nucleo di

In generale, il nucleo di un'applicazione lineare è un sottospazio vettoriale del dominio formato dai vettori di la cui immagine mediante è lo zero di .

Poiché è una base del nucleo di , i due vettori appartengono a , cosicché la loro immagine tramite è lo zero di .

In altri termini, l'esercizio chiede di stabilire se esiste e se è unica un'applicazione lineare tale che

Il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare definita da immagini di vettori stabilisce che se è una base di , allora esiste ed è unica. In caso contrario non potremo dire nulla a priori e bisognerà verificare la coerenza delle condizioni che individuano .

Quattro vettori di ne formano una base se e solo se sono linearmente indipendenti tra loro, ossia se e solo se il rango della matrice che li ha per righe ha rango uguale a 4.

Componiamo la matrice che ha per righe i vettori

e calcoliamone il determinante con uno sviluppo di Laplace riferito alla terza riga, in quanto ha un solo elemento non nullo. Dopo qualche passaggio si ottiene

pertanto, per il criterio dei minori, il rango di è 4.

Per quanto detto in precedenza, è una base di e quindi esiste ed è unica.

È fatta!