Soluzioni
  • Ciao toguttina arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Sappiamo che i vettori

    v=(1,0,1,0)\,\, w=(1,1, 1, 0)

    sono base del nucleo della applicazione lineare di conseguenza, per definizione di kernel:

    f(v)= (0,0,0,0)

    f(w)= (0, 0, 0,0)

    cioè l'applicazione lineare manda i vettori v e w al vettore nullo di R4 

    Il vettore 

    v_1=(0,0,0,1)

    ha per immagine il vettore:

    f(v_1)= (1,2,1,2)

    Inoltre:

    v_2= (1,0,0,1)

    ha per immagine il vettore:

    f(v_2)= (1,2,3,-1)

     

    Per conoscere come agisce l'applicazione lineare è necessario sapere come agisce sui vettori della base canonica di R4  

    e_1= (1,0, 0,0)= v_2-v_1

    dunque:

    f(e_1)= f(v_2-v_1)= [\mbox{linearità}]= f(v_2)-f(v_1)= (1,2,3,-1)-(1,2,1,2)= (0, 0, 2, -3)

    e_2= (0, 1, 0,0)= w-v

    di conseguenza:

    f(e_2)= f(w)-f(v)= (0, 0, 0, 0)

    e_3= v-v_2+v_1

    Da cui otteniamo che:

    f(e_3)= f(v)-f(v_2)+f(v_1)= (0, 0, 0, 0)-(1, 2, 3, -1)+(1, 2, 1, 2)= (0, 0, -2, 3)

    Infine 

    e_4= v_1\implies f(e_4)= f(v_1)= (1,2,1,2)

    La matrice che rappresenta l'applicazione lineare è:

    \begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&2\\2&0&-2&1\\-3&0&3&2\end{pmatrix}

    Ottenuta scrivendo per colonne l'immagine dei vettori della base.

    Risposta di Ifrit
  • grazie mille volevo chiedere una cosa: l'unicità dell'applicazione è garantita dal fatto che dobbiamo scegliere necessariamente quella base? quindi possiamo concludere che l'applicazione è unica a meno di isomorfismi???

    Risposta di toguttina
  • L'unicità dell'applicazione lineare discende dal fatto che si conoscono le immagini dei vettori di una base (nella fattispecie, la base canonica del dominio, che è \mathbb{R}^4).

    Un'applicazione lineare individuata mediante le immagini degli elementi di una base è necessariamente determinata in modo unico (proprio grazie alla linearità).

    Namasté!

    Risposta di Omega
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