Soluzioni
  • Ciao Einocacs arrivo :D

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo questa funzione:

    f(x)= \begin{cases}1-x^2&\mbox{ se }x\le 1\\ \frac{1}{1+x}&\mbox{ se }x\textgreater 1 \end{cases}

     

    Dobbiamo calcolare l'integrale definito:

    \int_{-4}^{1}|f(x)|dx

     

    L'intervallo di integrazione è [-4, 1] e su di esso la funzione assume l'espressione:

    f(x)= 1-x^2

    Di conseguenza l'integrale diventa:

    \int_{-4}^1|1-x^2|dx

     

    A questo punto dobbiamo studiare il segno dell'argomento del valore assoluto:

    1-x^2\ge 0\iff x^2\le 1\iff -1 \le x\le 1

    quindi:

    |1-x^2|= \begin{cases}1-x^2&\mbox{ se }-1\le x\le 1\\ x^2-1&\mbox{ se }x\textless -1\vee x\textgreater 1\end{cases}

    A questo punto:

    \int_{-4}^1 |f(x)|dx= \int_{-4}^{-1}|f(x)|dx+\int_{-1}^{1} |f(x)|dx

    \int_{-4}^1 |1-x^2|dx= \int_{-4}^{-1}|1-x^2|dx+\int_{-1}^{1} |1-x^2|dx

    Consideriamo separatamente gli integrali:

    \int_{-4}^{-1}|1-x^2|dx

    L'intervallo di integrazione è [-4, -1] nel quale la funzione f(x) è x^2-1 quindi:

    \int_{-4}^{-1}|1-x^2|dx= \int_{-4}^{-1}x^2-1dx=\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-4}^{-1}-[x]_{-4}^{-1}=

    \left(-\frac{1}{3}+\frac{4^3}{3}\right)-(-1+4)= 18

    Mentre per il secondo integrale:

    \int_{-1}^{1}|1-x^2|dx

    L'intervallo di integrazione è [-1,1] la funzione in esso assume la forma 1-x^2:

    \int_{-1}^{1} |1-x^2|dx= \int_{-1}^1 1-x^2dx= [x]_{-1}^1-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1=

    = 2-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\right)=2-\frac{2}{3}= \frac{4}{3}

     

    In definitiva:

    \int_{-4}^1 |1-x^2|dx= \int_{-4}^{-1}|1-x^2|dx+\int_{-1}^{1} |1-x^2|dx=18+\frac{4}{3}= \frac{58}{3}

    Risposta di Ifrit
  • Gentilmente einocacs per l'altro problema apri un'altra domanda grazie :D

    Risposta di Ifrit
  • Grazie mille, cerco prima di capire questo!

    Risposta di einocacs
 
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