Soluzioni
  • E immagino che P:\mathbb{R}^{n}\to S sia la proiezione relativa al sottospazio S :)

    In tal caso, basta dimostrare dato un qualsiasi sottospazio S\subseteq \mathbb{R}^n e dato il suo complemento ortogonale S^{\perp} qualsiasi vettore v\in\mathbb{R}^n può essere decomposto nella somma di due vettori (somma diretta!)

    v=Pv+(I-P)v

    questo può essere preso come risultato già noto, oppure lo si può dimostrare grazie alle proprietà delle proiezioni e ai risultati (dati per noti) sulle somme dirette.

    Applicando l'operatore di proiezione nella precedente uguaglianza, otteniamo

    Pv=P(Pv+(I-P)v)

    cioè

    Pv=P(Pv)+P((I-P)v)

    essendo P una proiezione, vale per definizione P^2=P e quindi

    Pv=Pv+P((I-P)v)

    per cui necessariamente

    (I-P)v\in Ker(P)

    ovvero, necessariamente

    (I-P)v\in S^{\perp}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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