Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to 0^{+}}[\cos(2x)]^{\tfrac{1}{x^{\alpha}\sin(x)}}=

    si presenta nella forma indeterminata [1^{+\infty}] che possiamo risolvere applicando l'identità esponenziale-logaritmica mediante la quale il limite si esprime nella forma equivalente

    =\lim_{x\to 0^{+}}e^{\log\left([\cos(2x)]^{\tfrac{1}{x^{\alpha}\sin(x)}}\right)}=

    Osserviamo che quando x\to 0^{+} l'argomento del logaritmo tende a 1: ciò ci deve suggerire l'uso del limite notevole

    \lim_{h(x)\to 0}\frac{\log(1+h(x))}{h(x)}=1

    o meglio della stima asintotica ad essa associata

    \log(1+h(x))\sim_{h(x)\to 0}h(x)

    Per poterla applicare però abbiamo bisogno di un barbatrucco che consiste nel sommare e sottrarre 1 nell'argomento del logaritmo

     =\lim_{x\to 0^{+}}e^{\tfrac{1}{x^{\alpha}\sin(x)}\log(1-1+\cos(2x))}=

     e a questo punto possiamo sostituire il logaritmo con la stima asintotica associata

    =\lim_{x\to 0^{+}}e^{\tfrac{1}{x^{\alpha}\sin(x)}\cdot (-1+\cos(2x))}=(\bullet\bullet)

    Dal limite notevole della funzione coseno deriva inoltre la stima asintotica notevole

    1-\cos(f(x))\sim_{f(x)\to 0}\frac{[f(x)]^2}{2}

    che stando attenti ai segni ci permette di costruire la seguente

    -1+\cos(2x)=-(1-\cos(2x))\sim_{x\to 0}-\frac{4x^2}{2}= - 2x^2

    Dal limite notevole della funzione seno segue inoltre la stima asintotica

    \sin(x)\sim_{x\to 0}x

    In accordo con il principio di sostituzione degli infinitesimi equivalenti il limite diventa

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to 0^{+}}e^{\tfrac{-2x^2}{x^{\alpha}\cdot x}}=

    e ancora grazie alle proprietà delle potenze giungiamo al limite equivalente

    \\ =\lim_{x\to 0^{+}}e^{x^{2-\alpha-1}}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to 0^{+}}e^{-2 x^{1-\alpha}}

    Al variare del parametro \alpha otterremo valori diversi in particolare:

    - se \alpha<1 l'esponente -2x^{1-\alpha}\to 0 e dunque il limite esiste finito e vale e^{0}=1;

    - se \alpha=1 l'esponente -2x^{1-\alpha}=-2 e dunque il limite vale e^{-2};

    - se \alpha>1 l'esponente -2x^{1-\alpha}\to -\inftye dunque il limite vale 0.

    Possiamo considerare concluso l'esercizio.

    Risposta di Ifrit
 
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