Soluzioni
  • Ciao I.Chirulli, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Vediamo se ho capito: il problema riguarda quindi lo studio del segno della derivata prima di

    f(x)=\frac{\sqrt{x}+1}{x+1}

    ?

    Risposta di Omega
  • esatto...studiando la sua decrescenza, riesco a dire se essa converge o meno (quindi ritornando alla serie di potenze dico se è convergente o meno nel mio punto di studio)

    Risposta di i.chirulli
  • Ok: calcolando la derivata troviamo

    f'(x)=-\frac{x+2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}

    Poniamo la derivata prima maggiore di zero (a noi interesseranno i valori di x che rendono la derivata prima decrescente, perché dobbiamo applicare il criterio di Leibniz) e risolviamo la disequazione

    f'(x)\geq 0

    che equivale a

    \frac{x+2\sqrt{x}-1}{2\sqrt{x}(x+1)^2}\leq 0

    Il denominatore è sempre positivo sul semiasse dei reali positivi, quindi ci limitiamo a

    x+2\sqrt{x}-1\leq 0

    poniamo y=\sqrt{x}, per cui la disequazione diventa

    y^2+2y-1\leq 0

    e otteniamo come soluzioni i valori compresi tra le due radici del polinomio. Tali valori rendono la derivata (quella scritta inizialmente) positiva: noi vogliamo i valori di x che rendono la derivata iniziale negativa, quindi prendiamo

    y\leq -1-\sqrt{2}\vee y\geq -1+\sqrt{2}

    alla luce della sostituzione effettuata, ci limitiamo a considerare

    y\geq -1+\sqrt{2}

    ossia

    \sqrt{x}\geq -1+\sqrt{2}

    e quindi

    x\geq (-1+\sqrt{2})^2=1-2\sqrt{2}+2=3-2\sqrt{2}

    ed ecco fatto...Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • e che cavolo, per un segno Yell, comunque una domanda, perchè prendiamo in considerazione solo una soluzione? e non tutte e due?

    Risposta di i.chirulli
  • Perché y=\sqrt{x} deve essere necessariamente positivo...Laughing

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • e certo per le CE precedenti...grazie omega 

    Risposta di i.chirulli
 
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