Circonferenza per due punti e tangente l'asse y

Quale metodo devo applicare per trovare la circonferenza passante per due punti e tangente all'asse delle y? C'è un esercizio di Geometria Analitica che mi sta mettendo parecchio in difficoltà, avrei bisogno del vostro aiuto!

Scrivere l'equazione della circonferenza tangente all'asse y e passante per i punti (-2;4) e (-1;3).

Io avevo pensato di sostituire i punti a x e y nell'equazione generica della circonferenza e metterle a sistema con x=0. Solo che non mi viene il risultato!

In Superiori - Geometria - Domanda di Francesca

Soluzioni

Ciao Francesca, un attimino di pazienza e sono da te

Risposta di Omega
L'idea è quella, il problema deve essere nei calcoli: l'equazione della circonferenza in forma generica è

$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$

Sostituiamo le coordinate dei punti appartenenti alla circonferenza:

Otteniamo

$4+16-2\alpha +4\beta +\gamma=0$

$1+9-\alpha +3\beta+\gamma=0$

cioè le due equazioni in $\alpha, \beta, \gamma$ che mettiamo a sistema

$20-2\alpha +4\beta +\gamma=0$

$10-\alpha +3\beta+\gamma=0$

Sostituiamo la seconda equazione con la differenza tra la prima e la seconda (metodo di riduzione):

$20-2\alpha +4\beta +\gamma=0$

$10-\alpha +\beta=0$

Dalla seconda

$\beta=\alpha-10$

sostituiamolo nella prima

$20-2\alpha +4\alpha -40 +\gamma=0$

cioè

$-20 +2\alpha +\gamma=0$

e ricaviamo

$\alpha=-\frac{1}{2}\gamma+10$

Sostituiamolo nell'altra equazione

$\beta=-\frac{1}{2}\gamma+10-10$

cioè

$\beta=-\frac{1}{2}\gamma$

Ora sostituiamo il tutto nell'equazione

$x^2+y^2+\alpha x+\beta y+\gamma=0$

e troviamo

$x^2+y^2-\frac{1}{2}\gamma x+10x-\frac{1}{2}\gamma y+\gamma=0$

Mettiamo a sistema l'equazione con l'equazione dell'asse delle ordinate, cioè

$y^2-\frac{1}{2}\gamma y+\gamma=0$

e imponiamo la condizione di tangenza tra circonferenza e asse, cioè che il determinante dell'equazione di secondo grado risultante sia nullo:

$\frac{1}{4}\gamma^2-4\gamma=0$

troviamo

$\gamma=0$

e

$\gamma=16$

Ti tornano i calcoli?

Namasté!

Risposta di Omega
ok mi trovo, avevo sbagliato a fare il sistema

Risposta di Francesca
A questo punto si sostituiscono i valori di $\gamma$ (uno per volta) per determinare i corrispondenti valori di $\alpha,\beta$ e si sostituiscono nell'equazione iniziale.

L'esercizio è praticamente concluso

Namasté!

Risposta di Omega