Ricondurre un limite ai limiti notevoli

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Ho un problema con l'utilizzo dei limiti notevoli per il seguente limite:

 

limite per x -> 0 di [ 1-5^x ] / [ 1-3^x ].

 

Grazie in anticipo.

Domanda di Luigi2110

 
Soluzioni

  • Hai questo limite:

    lim_(x → 0)(1-5^x)/(1-3^x)

    Se vuoi puoi tranquillamente moltiplicare per -1 sia al numeratore che al denominatore :), otterrai:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(3^x-1)

    Sai continuare oppure vuoi una mano? :D

    Risposta di Ifrit

  • voglio un aiuto.. Grazie

     

     

    Risposta di Luigi2110

  • Ok, abbiamo il limite notevole:

    lim_(x → 0)(a^x-1)/(x) = ln(a)

    che ci viene in nostro soccorso.

    Consideriamo il nostro limite:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(3^x-1) =

    Moltiplichiamo e dividiamo per x di modo che ci possiamo ricondurre al limite notevole:

    lim_(x → 0)((5^x-1)x)/(x(3^x-1)) =

    Facciamo "esplodere" il limite:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x)·(x)/(3^x-1) =

    Ricorda che il limite del prodotto  è il prodotto dei limiti

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x)·lim_(x → 0) (x)/(3^x-1) =

    Il primo è il limite notevole scritto in precedenza:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x) = ln(5)

    Il secondo è il reciproco del limite notevole:

    lim_(x → 0) (x)/(3^x-1) = (1)/(ln(3))

    Dunque:

    lim_(x → 0)(5^x-1)/(x)·lim_(x → 0) (x)/(3^x-1) = (ln(5))/(ln(3))

    Risposta di Ifrit

  • grazie per la spiegazione:)

    Risposta di Luigi2110
 
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