Soluzioni
  • Sia T:V \to W un'applicazione lineare definita mediante immagini di vettori, ossia tale che

    T(\mathbf{v}_1)=\mathbf{w}_1, \ \ ; \ \ T(\mathbf{v}_2)=\mathbf{w}_2 \ \ ; \ \ ... \ \ ; \ \ T(\mathbf{v}_n)=\mathbf{w}_n

    Secondo il teorema di esistenza e unicità di un'applicazione lineare, se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è una base di V, allora T esiste ed è unica.

    Di contro, se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} non è una base di V si distinguono i seguenti casi:

    1) se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è un insieme linearmente indipendente, T esiste ma non è unica.

    2) Se \{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, ..., \mathbf{v}_n\} è linearmente dipendente, bisogna controllare manualmente la coerenza della definizione di F.

    Nell'applicazione lineare T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3 tale che

    \\ T(1,1)=(4,3,2) \\ \\ T(0,1)=(1,1,1) \\ \\ T(1,0)=(3,2,1)

    i vettori

    \mathbf{v}_1=(1,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_2=(0,1) \ \ ; \ \ \mathbf{v}_3=(1,0)

    sono linearmente dipendenti, tant'è vero che \mathbf{v}_1 è combinazione lineare degli altri due

    \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3

    Al tempo stesso, \{\mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} è un sottoinsieme massimale di vettori linearmente indipendenti che forma una base di \mathbb{R}^2, per cui se

    T(\mathbf{v}_1)=T(\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)

    l'applicazione T esiste ed è unica; in caso contrario, non esiste.

    Dalla linearità di T segue che:

    T(\mathbf{v}_2+\mathbf{v}_3)=T(\mathbf{v}_2) + T(\mathbf{v}_3)=

    per le condizioni che la definiscono

    =(1,1,1)+(3,2,1) = (4,3,2) = T(\mathbf{v}_1)

    Possiamo allora concludere che T esiste ed è unica.

    Risposta di Galois
 
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