Soluzioni
  • Per calcolare il limite

    \lim_{x\to 0}\frac{2x^2+\tan(x^3)}{\sin^2(x)}=

    ci serviremo dei limiti notevoli, in particolare useremo:

    - il limite notevole della funzione seno

    \lim_{x\to \qualcosa}\frac{\sin(f(x))}{f(x)}=1

    valido nel momento in cui f(x)\to 0 quando x\to qualcosa;

    - il limite notevole della funzione tangente

    \lim_{x\to \qualcosa}\frac{\tan(f(x))}{f(x)}=1

    valido nel momento in cui f(x)\to 0 quando x\to qualcosa.

    A numeratore moltiplichiamo e dividiamo per x^2 e a denominatore facciamo lo stesso: tale passaggio algebrico non modifica in alcun modo la funzione ma permette di esprimere il limite nella forma equivalente

    \\ =\lim_{x\to 0}\frac{x^2\cdot \frac{2x^2+\tan(x^3)}{x^2}}{x^2\cdot \frac{\sin^2(x)}{x^2}}= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\frac{\frac{2x^2+\tan(x^3)}{x^2}}{\frac{\sin^2(x)}{x^2}}=

    Applichiamo a dovere le proprietà delle potenze aventi lo stesso esponente così che il limite diventi

    =\lim_{x\to 0}\frac{\frac{2x^2+\tan(x^3)}{x^2}}{\left(\frac{\sin(x)}{x}\right)^2}=

    In accordo con il limite notevole del seno, il denominatore principale della frazione tende a 1 quando x\to 0 conseguentemente il limite diventa

    =\lim_{x\to 0}\frac{2x^2+\tan(x^3)}{x^2}=

    Purtroppo il limite non è ancora risolto ma manca poco. Distribuiamo il denominatore a ciascun addendo del numeratore dopodiché scriveremo il limite della somma come somma dei limiti, in conformità con l'algebra dei limiti:

    \\ =\lim_{x\to 0}\left[\frac{2x^2}{x^2}+\frac{\tan(x^3)}{x^2}\right]= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}\left[2+\frac{\tan(x^3)}{x^2}\right]= \\ \\ \\ = \lim_{x\to 0}2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{x^2}= \\ \\ \\ = 2+\lim_{x\to 0}\frac{\tan(x^3)}{x^2}=

    Se al denominatore avessimo x^3 anziché x^2 potremmo applicare il limite notevole della tangente e concludere l'esercizio: non disperiamo, possiamo utilizzare i barbatrucchi algebrici che ci aiuteranno in tal senso. Moltiplichiamo e dividiamo per x

    \\ =2+\lim_{x\to 0}\frac{x\tan(x^3)}{x\cdot x^2}= \\ \\ \\ = 2 +\lim_{x\to 0}x\cdot \frac{\tan(x^3)}{x^3}=

    Invocando il limite notevole della tangente giungiamo al risultato

    =2+\lim_{x\to 0}x\cdot 1= 2

    Ora il limite è risolto.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi