Risoluzione equazione letterale di secondo grado

Si tratta di studiare l'equazione letterale di secondo grado

e di ricavare le eventuali soluzioni al variare del numero reale .

Indichiamo con rispettivamente il coefficiente di , quello di e il termine noto:

e calcoliamo il discriminante con la formula:

Semplifichiamo l'espressione usando due prodotti notevoli: la regola sul quadrato di un binomio e quella relativa alla differenza di quadrati.

In base al segno del discriminante, l'equazione può ammettere soluzioni oppure essere impossibile, in particolare:

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte;

- se , l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti;

- se , l'equazione è impossibile nell'insieme dei numeri reali.

Esaminiamo quindi il segno del , impostando la disequazione di primo grado:

da cui scopriamo che il discriminante è positivo se e solo se , per cui l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte, date dalla formula

Sfruttiamo le proprietà dei radicali per esprimere la radice del prodotto come prodotto di radici

Mettiamo in evidenza al numeratore e semplifichiamolo con quello al denominatore

Le soluzioni in questo caso sono quindi:

dove .

Per , il discriminante è nullo, di conseguenza l'equazione ammette due soluzioni reali e coincidenti:

Poiché , la precedente frazione algebrica diventa

Effettuiamo le operazioni e scriviamo in forma normale la frazione di frazioni:

Per , il discriminante è negativo e di conseguenza l'equazione non ammette soluzioni reali.

In conclusione:

- se , l'equazione è soddisfatta dai valori

- se , l'equazione è soddisfatta dai valori

- se , l'equazione è impossibile.

Approfondimento. Sebbene non richiesto dall'esercizio analizziamo anche il caso .

Se , il coefficiente di si annulla e l'equazione di secondo grado degenera nella seguente equazione di primo grado, soddisfatta per :

Ecco fatto.