Soluzioni
  • Tutto ciò che serve a livello teorico-pratico è reperibile qui: come effettuare lo studio di funzione. Innanzitutto, è cosa buona e giusta osservare che la funzione è definita per x\ne 0 ed infatti il suo dominio è

    \mbox{dom}(f)=\mathbb{R}-\{0\}=(-\infty, 0)\cup (0, +\infty)

    Esso è simmetrico rispetto allo 0 di conseguenza ha senso chiedersi se f(x) è una funzione pari o una funzione dispari.

    \\ f(-x)=(-x)\arctan\left(\frac{1}{(-x)}\right)=\\ \\ \\ =(-x)\left(-\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right)=x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=f(x)

    La funzione è dunque pari per cui il grafico di f(x) presenta una simmetria assiale, dove l'asse delle ordinate rappresenta il cosiddetto asse di simmetria.

    Segno della funzione e intersezione con gli assi: si risolve la disequazione f(x)\ge 0 confrontando il segno dei due fattori.

    f(x)\ge 0\to x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\ge 0

    Analizziamo il segno di ciascun fattore

    \\ x\ge 0 \\ \\ \arctan\left(\frac{1}{x}\right)\ge 0\to \frac{1}{x}\ge 0\to x>0

    Mediante la tabella dei segni si evince che la funzione è certamente positiva nel dominio, inoltre non vi sono intersezioni né con l'asse delle ascisse né con quella delle ordinate.

    Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti, iniziando dal limite per x\to +\infty

    \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}x \arctan\left(\frac{1}{x}\right)=

    (si applica il limite notevole dell'arcotangente osservando che \frac{1}{x}\to 0\mbox{ per }x\to +\infty)

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{\arctan\left(\frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}=1

    Data la finitezza del limite possiamo concludere che la funzione ammette un asintoto orizzontale di equazione y=1.

    \lim_{x\to 0^{+}}f(x)=\lim_{x\to 0^{+}}x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)=0

    siamo infatti in presenza di un prodotto tra un infinitesimo, quale è x, e una grandezza limitata, infatti l'arcotangente è una funzione limitata.

    Per parità, siamo certi dei risultati dei seguenti limiti

    \\ \lim_{x\to 0^{-}}f(x)=0 \\ \\ \lim_{x\to -\infty}f(x)=1

    tramite i quali possiamo concludere che x=0 è un punto di discontinuità di terza specie per la funzione.

    Derivata, monotonia, punti estremanti: calcoliamo la derivata prima della funzione applicando innanzitutto la regola di derivazione del prodotto prima:

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[x\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}[x]\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+x\frac{d}{dx}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]=

    e la regola per la derivata di una funzione composta poi

    \\ =\arctan\left(\frac{1}{x}\right)+ x\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)= \\ \\ \\ = \arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{x}{1+x^2}

    Lo studio del segno della derivata prima si effettua mediante il confronto grafico: per risolvere la disequazione

    f'(x)\ge 0

    si studia la disequazione equivalente

    \arctan\left(\frac{1}{x}\right)\ge \frac{x}{1+x^2}

    che non può essere risolta algebricamente, ma solo confrontando i grafici delle funzioni

    \\ g(x)=\arctan\left(\frac{1}{x}\right) \\ \\ \\ h(x)=\frac{x}{1+x^2}

    e individuando i sottoinsiemi di \mathbb{R}^{+} in cui il grafico di g(x) si trova al di sopra del grafico di h(x). Si trova che la derivata prima è sempre positiva per ogni x>0, quindi la funzione è sempre crescente sul semiasse dei reali positivi.

    Un altro modo di procedere consiste nell'analizzare la derivata seconda il cui studio del segno permette non solo di determinare gli intervalli di concavità e convessità per f(x) ma anche gli intervalli di monotonia per f'(x).

    Calcoliamo dunque l'espressione di f''(x) applicando le dovute regole di derivazione su f'(x):

    \\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]=\frac{d}{dx}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{x}{1+x^2}\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)\right]-\frac{d}{dx}\left[\frac{x}{1+x^2}\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{1+\left(\frac{1}{x}\right)^2}\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)-\frac{\frac{d}{dx}[x](1+x^2)-x\cdot\frac{d}{dx}[1+x^2]}{[1+x^2]^2}

    eseguendo gli ultimi conti otteniamo che

    f''(x)=\frac{-2}{(1+x^2)^2}

    Notiamo che il numeratore è negativo mentre il denominatore è certamente positivo nel dominio di f(x), di conseguenza f''(x) è una funzione negativa sia nell'intervallo (-\infty, 0) che nell'intervallo (0, +\infty) pertanto la derivata prima è decrescente negli intervalli

    (-\infty, 0)\mbox{ e in }(0, +\infty)

    inoltre

    \lim_{x\to 0^{+}}f'(x)=\lim_{x\to 0^{+}}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{x}{1+x^2}\right]=\frac{\pi}{2}

    mentre

    \lim_{x\to +\infty}f'(x)=\lim_{x\to +\infty}\left[\arctan\left(\frac{1}{x}\right)-\frac{x}{1+x^2}\right]=0

    Per il teorema dei valori intermedi si ha che

    f'(x)\in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)\quad\forall x\in (0, +\infty)

    e conseguentemente la derivata prima è positiva per x>0 e dunque f(x) è strettamente crescente in (0, +\infty).

    Grazie alla simmetria assiale di cui gode f(x) possiamo inoltre asserire che essa è una funzione decrescente in (-\infty, 0).

    Dallo studio del segno della derivata seconda si ha inoltre che f(x) è concava negli intervalli (-\infty, 0)\mbox{ e in }(0, +\infty).

    Le informazioni in nostro possesso sono sufficienti a rappresentare la funzione: per vederne l'andamento puoi utilizzare il grafico di funzione online.

    Risposta di Omega
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