Esercizi sui fasci di parabole

Qui mi limito a risolvere il primo esercizio, in accordo con il regolamento...

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Per determinare le coordinate dei punti base del fascio di parabole (click per le formule della parabola)

mettiamo a sistema le due parabole generatrici:

Ricavando dalla prima equazione e sostituendone l'espressione nella seconda equazione:

otteniamo

ossia

si tratta di un'equazione di secondo grado che ha soluzioni

Sostituendo le ascisse nell'equazione di una delle due parabole, si trovano le corrispondenti ordinate.

Le parabole generatrici le abbiamo invece già individuate.

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Per determinare la parabola del fascio passante per , sostituiamo le coordinate di tale punto nell'equazione del fascio

si trova

ossia

e quindi la parabola si determina sostituendo tale valore del parametro nell'equazione del fascio:

da cui

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Per determinare la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione

Scriviamo il fascio di parabole nella forma

cioè

e calcolando le coordinate del vertice della parabola generica con le formule

si dovrà poi imporre che

che sarà un'equazione in . Risolvendola trovi il valore che individua la parabola del fascio.

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Per determinare la parabola del fascio tangente alla retta di equazione , si mettono a sistema le equazioni del fascio e l'equazione della tangente

e si richiede che il discriminante dell'equazione di secondo grado in che ne risulta si annulli. La condizione di annullamento del discriminante fornisce un'equazione in che, risolta, dà i valori di che individuano le parabole tangenti.

Namasté!