Soluzioni
  • Ciao Silvia18, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Qui mi limito a risolvere il primo esercizio, in accordo con il regolamento...

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    Per determinare le coordinate dei punti base del fascio di parabole (click per le formule della parabola)

    y-x^2+2x+3+k(2y+x^2-2x-3)=0

    mettiamo a sistema le due parabole generatrici:

    \left\{\begin{matrix}y-x^2+2x+3=0\\ 2y+x^2-2x-3=0\end{matrix}

    Ricavando y dalla prima equazione e sostituendone l'espressione nella seconda equazione:

    y=x^2-2x-3

    otteniamo

    2(x^2-2x-3)+x^2-2x-3=0

    3x^2-6x-9=0

    ossia

    x^2-2x-3=0

    si tratta di un'equazione di secondo grado che ha soluzioni

    x=+3\mbox{ ; }x=-1

    Sostituendo le ascisse nell'equazione di una delle due parabole, si trovano le corrispondenti ordinate.

    Le parabole generatrici le abbiamo invece già individuate.

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    Per determinare la parabola del fascio passante per P=(2,6), sostituiamo le coordinate di tale punto nell'equazione del fascio

    y-x^2+2x+3+k(2y+x^2-2x-3)=0

    x=2

    y=6

    si trova

    6-4+4+3+k(12+4-4-3)=0

    9+k(9)=0

    ossia k=-1

    e quindi la parabola si determina sostituendo tale valore del parametro k nell'equazione del fascio:

    y-x^2+2x+3-(2y+x^2-2x-3)=0

    da cui

    y=-2x^2+4x+6

    ---

    Per determinare la parabola del fascio avente il vertice sulla retta di equazione

    x+y-2=0

    Scriviamo il fascio di parabole nella forma

    y(1+2k)+x^2(-1+k)+x(2-2k)+(3-3k)=0

    cioè

    y=x^2\frac{+k-1}{2k+1}+x\frac{2k-2}{2k+1}+\frac{3k-3}{2k+1}

    e calcolando le coordinate del vertice della parabola generica con le formule

    x_{V}=\frac{-b}{2a}

    y_{V}=\frac{-\Delta}{4a}

    si dovrà poi imporre che

    x_{V}+y_{V}-2=0

    che sarà un'equazione in k. Risolvendola trovi il valore che individua la parabola del fascio.

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    Per determinare la parabola del fascio tangente alla retta di equazione y=-1, si mettono a sistema le equazioni del fascio e l'equazione della tangente

    y(1+2k)+x^2(-1+k)+x(2-2k)+(3-3k)=0

    y=-1

    e si richiede che il discriminante dell'equazione di secondo grado in x che ne risulta si annulli. La condizione di annullamento del discriminante fornisce un'equazione in k che, risolta, dà i valori di k che individuano le parabole tangenti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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