Soluzioni
  • Ciao Andrea,

    iniziamo con qualche definizione:

    in \mathbb{P}^3_{K} si dice piano l'insieme dei punti le cui coordinate omogenee soddisfano la seguente equazione lineare omogenea:

    a_1x_1+a_2x_2+a_3x_3+a_4x_4=0

     

    la retta è definita dall'insieme di punti le cui coordinate omogenee soddisfano il seguente sistema lineare omogeneo:

     

    \left1{\begin{matrix}a_{1 1}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4=0\\a_{2 1}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4=0\end{matrix}

     

    tale che

     

    rg\left(\begin{matrix}a_{1 1} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{2 1} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\end{matrix}\right)=2

     

    Le quaterne che rappresentano le coordinate di tre punti non allineati avranno matrice dei coefficienti associata di rango maggiore uguale a tre, cioè formano nello spazio K4 un sottospazio vettoriale di dimensione 3, cioè un piano in P3.

     

    Alpha.

    Risposta di Alpha
  • Quindi per dimostrare che in P^3 due rette incidenti sono complanari posso dire che vista la retta come intersezione tra due piani

    \begin{cases}a_{1 1}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3+a_{14}x_4=0\\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3+a_{24}x_4=0\end{cases}

    Due rette incidenti messe a sistema hanno soluzione non banale, quindi la matrice dei coefficienti ha determinante nullo e quindi il rango è minore di 4, più precisamente essendo le rette distinte il rango sarà 3, e quindi formano un sottospazio di dimensione 3, ovvero un piano. Giusto?

    Risposta di Andrea
  • Si, è giusto!

    Risposta di Alpha
  • ok, grazie mille, sei stato veramente gentile

    Risposta di Andrea
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