Equazione con parametro che definisce un'ellisse o un'iperbole

Prendiamo l'equazione 

dove si suppone abbiamo a che fare con:

- un'iperbole se valgono le condizioni, messe a sistema: e

oppure

e

Infatti in questi casi ci riconduciamo, rispettivamente, ad equazioni del tipo

e

In entrambi i casi entrambe le precedenti condizioni vanno messe a sistema, per cui si conclude che abbiamo un'iperbole se nel primo caso e nel secondo.

In particolare, per dedurre le condizioni da imporre nel secondo caso basta osservare che si può scrivere

dove e .

- Un'ellisse se e .

In tal caso infatti ci ricondurremmo ad un'equazione del tipo

basterebbe infatti riscrivere l'equazione nella forma

ma ho usato il condizionale perché il precedente sistema è impossibile, quindi l'equazione considerata non rappresenta mai un'ellisse.

- Per determinare i valori di per i quali le iperboli hanno vertici sull'asse delle ascisse o vertici sull'asse delle ordinate , bisogna nei rispettivi casi mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con:

- l'asse delle ordinate , e risolvere l'equazione. Si trova

ossia

e la condizione da richiedere è che affinché esista la radice.

- L'asse delle ascisse , e risolvere l'equazione. Si trova

ossia

e la condizione da imporre è che , cioè .

Namasté!