Soluzioni
  • Ciao Jumpy, provo a risponderti :| Sono problemi non immediati... Vediamo che posso fare xD

    Risposta di Ifrit
  • Poniamo 

    x= \hat{POA}

    e consideriamo i triangoli:

    OAP 

    e

    OPB 

    L'area del quadrilatero è data dalla somma delle aree dei triangoli precedenti.

    Facendo ricorso alla formula trigonometrica per l'area di un triangolo qualsiasi, possiamo calcolare l'area del primo 

    A_{OAP}= \frac{OA\cdot OB\cdot \sin(\hat{OPA})}{2}= \frac{r^2 \sin(x)}{2}

    Per quanto riguarda il secondo:

    A_{OPB}= \frac{OP\times OB\sin(\hat{BOP})}{2}= \frac{r^2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}

    Di conseguenza:

    A_{OAPB}=A_{OAP}+A_{OPB}= \frac{r^2\sin(x)}{2}+\frac{r^2\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}

    mettendo in evidenza:

    A_{OAPB}=A_{OAP}+A_{OPB}= \frac{r^2}{2}\left(\sin(x)+\sin\left(90^o-x\right)\right)

    A questo punto otteniamo l'equazione:

     \frac{r^2}{2}\left(\sin(x)+\sin\left(90^o-x\right)\right)= \frac{\sqrt{3}+1}{4} r^2

     

    Semplificando un mezzo  r quadro:

     \left(\sin(x)+\sin\left(90^o-x\right)\right)= \frac{\sqrt{3}+1}{2}

    Ricordando che, per le formule sugli archi associati 

    \sin\left(90^o-x\right)= \cos(x)

    l'equazione si riscrive come:

    \sin(x)+\cos(x)= \frac{\sqrt{3}+1}{2}

    A questo punto risolvi la disequazione e troverai i risultati cercati :)

    Nota:

    Quale metodo utilizzi per risolvere le equazioni trigonometriche lineari?

    Risposta di Ifrit
 
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