Limite con logaritmo di un logaritmo, con de l'Hopital

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Devo calcolare un limite fratto in cui a numeratore ho il logaritmo di un logaritmo, mentre a denominatore ho solo un logaritmo, al tendere di x a 0. Rientra tra gli esercizi sul teorema di de l'Hopital:

 

lim_(x → 0^+)(ln(ln(x+1)))/(ln(x))

 

Potreste mostrarmi come procedere, e dirmi se c'è un modo alternativo per calcolarlo?

 

Grazie in anticipo.

Domanda di fioccoSmile

 
Soluzioni

  • Ricordando l'andamento della funzione logaritmo, si vede piuttosto facilmente che abbiamo un limite che si presenta con una forma indeterminata infinito su infinito

    lim_(x → 0^+)(ln(ln(x+1)))/(ln(x)) = [(∞)/(∞)]

    infatti il logaritmo nell'argomento del logaritmo tende a zero da sopra per x tendente a zero da destra

    ln(x+1) → 0^+ per x → 0^+

    e il logaritmo tende a -infinito per x → 0^+.

    Risoluzione con il teorema di de l'Hopital

    Lascio a te il compito di verificare che il limite soddisfa le ipotesi richieste dal teorema di de l'Hopital.

    Procediamo con il calcolo delle derivate di numeratore e denominatore, separatamente.

    (d)/(dx)[ln(ln(x+1))] =

    Usiamo il teorema per la derivata della funzione composta

    = (1)/(ln(x+1))·(d)/(dx)[ln(x+1)] = (1)/(ln(x+1))·(1)/(x+1)·(d)/(dx)[x+1] = (1)/((x+1)ln(x+1))

    Per il denominatore si tratta di ricordare qual è la derivata del logaritmo

    (d)/(dx)[log(x)] = (1)/(x)

    Abbiamo tutto quello che ci serve. Applichiamo de l'Hopital e consideriamo il limite del rapporto delle derivate di numeratore e denominatore

    lim_(x → 0^+)(ln(ln(x+1)))/(ln(x)) = lim_(x → 0^+)((1)/((x+1)ln(x+1)))/((1)/(x)) =

    Usiamo la regola per le frazioni di frazioni

    = lim_(x → 0^+)(x)/((x+1)ln(x+1)) = (•)

    Siamo così passati a un'altra forma indeterminata, in questo caso zero su zero. Utilizziamo nuovamente de L'Hopital e calcoliamo le derivate di numeratore e denominatore.

    La derivata di x è 1

    (d)/(dx)[x] = 1

    La derivata del denominatore si calcola con la regola per la derivata del prodotto

    (d)/(dx)[(x+1)ln(x+1)] = (d)/(dx)[x+1]·ln(x+1)+(x+1)·(d)/(dx)[ln(x+1)] = ln(x+1)+(x+1)·(1)/(x+1) = ln(x+1)+1

    Il limite precedente diventa:

    (•) = lim_(x → 0^+)(1)/(ln(x+1)+1)

    Il denominatore tende a 1 mentre il numeratore è costante, quindi il limite vale 1:

    lim_(x → 0^+)(1)/(ln(x+1)+1) = 1

    e abbiamo finito.

    Metodo alternativo con i limiti notevoli

    In alternativa, e molto più velocemente, avremmo potuto risolvere l'esercizio sfruttando i limiti notevoli e in particolare usando le equivalenze asintotiche che ne derivano. Per il metodo ti rimando alla lezione come usare i limiti notevoli.

    lim_(x → 0^+)(ln(ln(x+1)))/(ln(x))

    Dal limite notevole del logaritmo sappiamo che

    lim_(x → 0)(ln(1+x))/(x) = 1

    da cui discende l'equivalenza asintotica

    ln(1+x) ~ x per x → 0

    Nel nostro caso x → 0^+, quindi l'equivalenza asintotica sussiste. Passiamo allora a considerare il limite

    lim_(x → 0^+)(ln(ln(x+1)))/(ln(x)) = lim_(x → 0^+)(ln(x))/(ln(x)) = 1

    e abbiamo ricavato il risultato. ;)

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica