Soluzioni
  • Ciao Bina, arrivo a risponderti...:)

    Controdomanda: f è un'incognita o un parametro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok: abbiamo un sistema di 3 equazioni in 4 incognite:

    (k+1)x +(k+2)y -f -z= 1

    kx -y-f+2z= 0

    x+y-f-z= 3

    che possiamo scrivere in forma matriciale come

    \left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1&-1\\ k& -1& -1 & +2\\ 1 & 1 & -1&-1 \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x\\ y\\ f\\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\\ 0\\ 3\end{matrix}\right]

    Per risolvere l'esercizio si può ricorrere al teorema di Rouché-Capelli: chiamando A la matrice dei coefficienti, cioè la matrice incompleta

    A=\left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1&-1\\ k& -1& -1 & +2\\ 1 & 1 & -1&-1 \end{matrix}\right]

    e \overline{A} la matrice completa ottenuta accostando alla matrice completa il vettore dei termini noti

    \overline{A}=\left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1&-1& 1\\ k& -1& -1 & +2& 0\\ 1 & 1 & -1&-1 & 3\end{matrix}\right]

    bisogna calcolare il rango delle due matrici (ricorrendo al criterio dei minori) e confrontare i due ranghi. Sono date le seguenti possibilità:

    - se Rk(A)=Rk(\overline{A}), allora il sistema è compatibile (e viceversa), cioè ammette una o infinite soluzioni. In particolare, detto n il numero delle incognite:

    -- se n-Rk(A)=0 il sistema ammette una e una sola soluzione, e il sistema è determinato;

    -- se n-Rk(A)>0 il sistema ammette \infty^{n-Rk(A)} soluzioni ed è indeterminato.

    - se invece Rk(A)\neq Rk(\overline{A}), il sistema è impossibile.

    ---------

    Naturalmente nel nostro caso il rango delle matrici completa e incompleta dipendono dal parametro k: con il criterio dei minori 

    "il rango di una matrice è l'ordine del più grande minore invertibile della matrice"

    (dove un minore è una matrice quadrata estratta dalla matrice considerata) si distinguono le varie possibilità, individuando il rango delle matrici al variare del parametro k.

    ----------

    Conoscevi questo modo di procedere?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • quindi non occorre sopprimere una colonna, e calcolare il det della matrice A con il metodo di sarrus?

    Risposta di bina
  • Esattamente: eliminando una colonna nella matrice incompleta (due colonne nellamatrice completa) e calcolando il determinante della matrice quadrata che sopravvive, puoi determinare se quel minore è invertibile oppure no.

    Invertibile se il determinante è diverso da zero; non invertibile se il determinante è uguale a zero.

    Va da sé che se c'è anche un solo minore di ordine tre invertibile, il rango della matrice è 3, mentre se tutti i minori di ordine 3 hanno non sono invertibili la matrice ha al più rango 2.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ascolta omega ma puoi scrivermi come si trova il rango e come possiamo verificare qst sistema?? ovvero i procesimenti... per vedere se qll che ho fatto io è corretto..

    Risposta di bina
  • Ok Laughing

    Se consideriamo la matrice completa

    \overline{A}=\left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1&-1& 1\\ k& -1& -1 & +2& 0\\ 1 & 1 & -1&-1 & 3\end{matrix}\right]

    e consideriamo il minore

    \left[\begin{matrix}-1&-1& 1\\ -1 & +2& 0\\ -1&-1 & 3\end{matrix}\right]

    esso ha determinante diverso da zero, il che vuol dire: la matrice completa ha Rk(\overline{A})=3 indipendentemente dal valore di k.

    Passiamo alla matrice incompleta:

    A=\left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1&-1\\ k& -1& -1 & +2\\ 1 & 1 & -1&-1 \end{matrix}\right]

    E consideriamo il minore

    \left[\begin{matrix}(k+1)& (k+2)& -1\\ k& -1& -1\\ 1 & 1 & -1 \end{matrix}\right]

    che ha determinante (k-1)^2 (se non ho toppato clamorosamente i conti, ma credo proprio di no). Se k\neq +1, tale minore ha determinante non nullo e quindi la matrice incompleta ha rango 3, mentre se k=+1 tale minore non è invertibile. In questa eventualità, se passiamo a considerare il minore

    \left[\begin{matrix} (k+2)& -1&-1\\  -1& -1 & +2\\  1 & -1&-1 \end{matrix}\right]

    troviamo come determinante 3k+3, per cui prendendo k=+1 abbiamo trovato un minore invertibile, e la matrice incompleta ha rango 3.

    Morale: il sistema è compatibile. Dato che abbiamo n=4 incognite e Rk(A)=3, avremo in particolare \infty^{1} soluzioni.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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