Soluzioni
  • Ciao Antonell, arrivo a risponderti...Wink

    Risposta di Omega
  • Ok! :) La successione è questa qui:

    a_n=\frac{n^2 2^n}{n!}

    Per determinare il carattere di tale successione, possiamo fare riferimento al criterio del rapporto per le successioni: si tratta di calcolare il

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_{n}}}=l

    Il valore del limite ci dirà qual è il carattere della successione \{a_n\}_n:

    - se l>1, la successione diverge;

    - se 0\leq l \textless 1, la successione converge e ha come limite zero;

    - se l=1, il criterio del rapporto non è in grado di fornirci alcuna informazione.

    Consideriamo allora

    \frac{a_{n+1}}{a_{n}}=\frac{\frac{(n+1)^22^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^2 2^n}{n!}}=

    ossia

    =\frac{(n+1)^2 2^{n+1}n!}{(n+1)! n^2 2^n}=

    =\frac{(n+1)^2 2\cdot 2^{n}n!}{(n+1)n! n^2 2^n}=

    Semplifichiamo tutto ciò che si può semplificare

    2\frac{(n+1)}{n^2}

    tale successione ha come limite per n\to +\infty zero, quindi per il criterio del rapporto la successione inizialmente considerata converge a zero..

     

    In alternativa, a titolo di completezza, vediamo come calcolare il limite con gli ordini di infinito di successioni. Conoscendo la relazione che sussiste tra i principali ordini di infinito, puoi osservare che

    n^2\textless \textless 2^n

    al tendere di n\to +\infty, quindi

    \frac{n^2 2^n}{n!}\textless \textless_{n\to +\infty} \frac{2^{n}2^{n}}{n!}=\frac{2^{2n}}{n!}=\frac{4^{n}}{n!}

    e, in base al confronto tra infiniti, ricordando che a^{n} è un infinito di ordine inferiore di n! al tendere di n\to +\infty si conclude che il limite della successione è zero.

    Namasté!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Grazie mille, sei stato gentilissimo! :) Ho capito tutto ;)

    Risposta di antonell
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