Integrale razionale con valore assoluto

Salve, la mia prima domanda riguarda un integrale con valore assoluto, al numeratore di una funzione razionale. E' la prima volta che scrivo in questa sezione, spero di ricevere risposta per un quesito.

Ho il seguente integrale da calcolare, come ragionare in caso di valore assoluto come di seguito?

 

\int_{4}^{12}{ \frac{|10-x|}{x^2+x-12} dx}

 

Grazie per gli eventuali chiarimenti.

In Uni - Analisi - Domanda di danying

Soluzioni

  • Ciao Danying, chiunque domandi qui riceve una risposta... Tongueinfatti arrivo a risponderti Wink

    Risposta di Omega

  • L'integrale

    \int_{4}^{12}\frac{|10-x|}{x^2+x-12} dx

    così com'è è complicato, ma con un piccolo accorgimento non lo è più: specifichiamo il segno dell'argomento del modulo ed eliminiamo il modulo.

    Se 10-x> 0, vale a dire x\textless 10, possiamo scrivere

    |10-x|=+(10-x)

    mentre se 10-x\textless 0, vale a dire x>10, abbiamo

    |10-x|=-(10-x)

    Di conseguenza per una nota proprietà dell'integrale di Riemann possiamo scrivere

    \int_{4}^{12}{\frac{|10-x|}{x^2+x-12}dx}=\int_{4}^{10}{\frac{10-x}{x^2+x-12}dx}+\int_{10}^{12}{\frac{-(10-x)}{x^2+x-12}dx}

    Con questa osservazione (che credo sia risolutiva) sapresti come calcolare l'integrale?

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Grazie per la tempestiva risposta Omega;

    :D grande , immaginavo qualcosa con il segno  , ma sinceramente non ho mai svolto un integrale così e quindi non ero assolutamente in grado di darne una chiara veduta;

    questo "metodo di togliere il valore assoluto" in relazione agli estremi di integrazione mi farà scuola per eventuali esercizi simili ;

    cmq ... si ora abbiamo due integrali razionali "nella norma"

    completo e posto la soluzione finale ok ?


     a dopo ^^

    Risposta di danying

  • All right! :)

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Rieccomi;

    Finalmente posso rispondere;

    allora
    partiamo dal primo integrale quello tra (10 e 4) per intenderci M

    analizziamo il denominatore x^2+x-12 = (x-3) (x+4)


    possiamo scrivere l'integrale in termini :  \int{\frac{A} {x-3} dx}  +\int{\frac{B} {x+4} dx}


    Calcoliamo con il sistema di Cramer o con il "metodo dei residui" A e B ; (salto i calcoli per andare al dunque , in caso poi li aggiungo dopo ) ;

    E arrivo a calcolarmi A= 1 , B=-2

     

    sostituendo arriviamo alla semplice soluzione log(x-3)-2log(x+4)} da integrare tra 10 e 4;

    da qui in poi non mi trovo bene con il risultato numerico;

    Per il teeorama fondamentale di integrazione che dice in sostanza F(b)- F(a)

    ho pensato ad;

    [ log(7)-2log(14)]- [ log(1)-2log(8)]   sicuramente c'è qualche errore....Yell

    Risposta di danying

  • Invece ci sei: Laughing puoi eventualmente riscrivere il risultato in base alle proprietà dei logaritmi, ma in ogni caso hai fatto bene i conti Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • ^^ a Bene ;

    clicco su problema risolto in quanto il problema principale era il "valore assoluto" :

    Thankx.

    Risposta di danying
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