Soluzioni
  • Calcoleremo il limite

    \lim_{x\to +\infty}\frac{2e^{x}+5}{6-4e^{x}}=(\bullet)

    facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore: bisognerà quindi confrontare gli infiniti e considerare esclusivamente quelli di ordine superiore. Nel caso in esame per x\to +\infty:

    - al numeratore 2e^{x}+5 l'infinito è l'esponenziale 2e^{x} mentre il termine costante è trascurato;

    - al denominatore 6-4e^{x} l'infinito è l'esponenziale -4e^{x} mentre il termine costante è trascurato.

    In accordo con il principio di eliminazione scriveremo il limite iniziale nella forma equivalente

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2e^{x}}{-4e^{x}}=

    ed eseguendo una facile semplificazione giungeremo al risultato

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{2}{-4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}

    Fatto!

     

    Metodo alternativo

    Possiamo risolvere il limite in modo leggermente differente almeno nella forma, ma non nella sostanza

    \lim_{x\to +\infty}\frac{2e^{x}+5}{6-4e^{x}}=

    Mettiamo in evidenza sia al numeratore che al denominatore e^{x}

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{e^{x}\left(2+\frac{5}{e^{x}}\right)}{e^{x}\left(\frac{6}{e^{x}}-4\right)}=

    e semplifichiamo in modo opportuno

    =\lim_{x\to +\infty}\frac{2+\frac{5}{e^{x}}}{\frac{6}{e^{x}}-4}=(\bullet)

    Osserviamo che le frazioni con il termine esponenziale a denominatore tendono a 0, ossia

    \\ \frac{5}{e^{x}}\to 0 \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty \\ \\ \\ \frac{6}{e^{x}}\to 0 \ \ \ \mbox{ per }x\to +\infty

    pertanto il limite diventa

    (\bullet)=\lim_{x\to +\infty}\frac{2+0}{0-4}= \frac{2}{-4}=-\frac{1}{2}

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Ifrit
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