Limite fratto con principio di eliminazione degli infiniti

  1. Home
  2. Domande e Risposte
  3. Università - Analisi

Dovrei calcolare il limite del rapporto di due funzioni esponenziali utilizzando il confronto tra infiniti e il principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore. Il limite è

 

lim_(x → +∞)(2e^(x)+5)/(6-4e^(x))

Domanda di fioccoSmile

 
Soluzioni

  • Calcoleremo il limite

    lim_(x → +∞)(2e^(x)+5)/(6-4e^(x)) = (•)

    facendo uso del principio di eliminazione degli infiniti di ordine inferiore: bisognerà quindi confrontare gli infiniti e considerare esclusivamente quelli di ordine superiore. Nel caso in esame per x → +∞:

    - al numeratore 2e^(x)+5 l'infinito è l'esponenziale 2e^(x) mentre il termine costante è trascurato;

    - al denominatore 6-4e^(x) l'infinito è l'esponenziale -4e^(x) mentre il termine costante è trascurato.

    In accordo con il principio di eliminazione scriveremo il limite iniziale nella forma equivalente

    (•) = lim_(x → +∞)(2e^(x))/(-4e^(x)) =

    ed eseguendo una facile semplificazione giungeremo al risultato

    = lim_(x → +∞)(2)/(-4) = -(2)/(4) = -(1)/(2)

    Fatto!

     

    Metodo alternativo

    Possiamo risolvere il limite in modo leggermente differente almeno nella forma, ma non nella sostanza

    lim_(x → +∞)(2e^(x)+5)/(6-4e^(x)) =

    Mettiamo in evidenza sia al numeratore che al denominatore e^(x)

    = lim_(x → +∞)(e^(x)(2+(5)/(e^(x))))/(e^(x)((6)/(e^(x))-4)) =

    e semplifichiamo in modo opportuno

    = lim_(x → +∞)(2+(5)/(e^(x)))/((6)/(e^(x))-4) = (•)

    Osserviamo che le frazioni con il termine esponenziale a denominatore tendono a 0, ossia

    (5)/(e^(x)) → 0 per x → +∞ ; (6)/(e^(x)) → 0 per x → +∞

    pertanto il limite diventa

    (•) = lim_(x → +∞)(2+0)/(0-4) = (2)/(-4) = -(1)/(2)

    Abbiamo concluso!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
Le più lette
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica