Volume di un solido con parallelepipedo rettangolo e piramide regolare

Question

Mi serve una mano per risolvere un esercizio sui solidi composti. Il problema mi chiede, tra le altre cose, di calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo e quello di una piramide regolare. Come dovrei fare? Un solido ha il volume di 65100 cm3 ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con lato di 30 cm, e da una piramide regolare P1 che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore di P. Calcola: (a) il volume e la diagonale di P; (b) il volume e l'apotema di P; (c) l'area della superficie laterale del solido. Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.

Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.

Sappiamo che:

- il solido è composto da un parallelepipedo rettangolo e da una piramide regolare ;

- il volume del solido è

- il poligono di base del parallelepipedo è un quadrato di lato

- la piramide regolare è un solido equivalente ai del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai del volume del parallelepipedo

- il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.

Volume e diagonale del parallelepipedo

Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.

Poiché il solido è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi

Sappiamo inoltre che , pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa

V = V_(P)+(16)/(15)V_(P) = (15+16)/(15)V_(P) = (31)/(15)V_(P)

Conoscendo il volume , possiamo calcolare il volume del parallelepipedo

Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:

- della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti );

- della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo , che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa

dove è l'area del quadrato e vale

L'altezza misura quindi

Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo

d = √(L_(Q)^2+L_(Q)^2+h_(P)^2) = √(30^2+30^2+35^2) cm = √(3025) cm = 55 cm

Volume e apotema della piramide

Il volume della piramide si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che

e che allora

V_(P_1) = (16)/(15)·31500 cm^3 = (16·31500)/(15) cm^3 = 33600 cm^3

Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di che possiamo determinare con la formula inversa

h_(P_1) = (3V_(P_1))/(S_(b)) = (3·33600)/(900) cm = 112 cm

A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con .

Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:

a = √(((L_(Q))/(2))^2+h_(P_1)^2) = √(15^2+112^2) cm = √(12769) cm = 113 cm

Area della superficie totale del solido

L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide , l'area della superficie laterale del parallelepipedo e l'area della superficie di base

Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base , dobbiamo calcolare le altre due.

La superficie laterale della piramide si ricava con la formula

dove è il perimetro del quadrato di base e vale

mentre è l'apotema.

La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula

dove mentre

Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido

S_(tot) = S_(lat,P_1)+S_(lat,P_2)+S_(b) = (6780+4200+900) cm^2 = 11880 cm^2

Abbiamo finito!