Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.
Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.
Sappiamo che:
- il solido
è composto da un parallelepipedo rettangolo
e da una piramide regolare
;
- il volume del solido
è
- il poligono di base del parallelepipedo
è un quadrato
di lato
- la piramide regolare è un solido equivalente ai
del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai
del volume del parallelepipedo
- il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.
Volume e diagonale del parallelepipedo
Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.
Poiché il solido
è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi
Sappiamo inoltre che
, pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa
Conoscendo il volume
, possiamo calcolare il volume del parallelepipedo
Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:
- della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti
);
- della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo
, che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa
dove
è l'area del quadrato
e vale
L'altezza
misura quindi
Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo
Volume e apotema della piramide
Il volume della piramide
si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che
e che
allora
Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di
che possiamo determinare con la formula inversa
A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con
.
Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:
Area della superficie totale del solido
L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide
, l'area della superficie laterale del parallelepipedo
e l'area della superficie di base
Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base
, dobbiamo calcolare le altre due.
La superficie laterale della piramide si ricava con la formula
dove
è il perimetro del quadrato di base e vale
mentre
è l'apotema.
La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula
dove
mentre
Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido
Abbiamo finito!
MEDIE | Geometria | Algebra e Aritmetica | |||
SUPERIORI | Algebra | Geometria | Analisi | Altro | |
UNIVERSITÀ | Analisi | Algebra Lineare | Algebra | Altro | |
EXTRA | Pillole | Wiki |