Soluzioni
  • Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.

    Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.

    Sappiamo che:

    - il solido S è composto da un parallelepipedo rettangolo P e da una piramide regolare P_1;

    - il volume del solido S è

    V=65100 \ \mbox{cm}^3

    - il poligono di base del parallelepipedo P è un quadrato Q di lato

    L_{Q}=30\ \mbox{cm}

    - la piramide regolare è un solido equivalente ai \frac{16}{15} del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai \frac{16}{15} del volume del parallelepipedo

    V_{P_1}=\frac{16}{15}\cdot V_{P}

    - il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.

    Volume e diagonale del parallelepipedo

    Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.

    Poiché il solido S è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi

    V=V_{P}+V_{P_1}

    Sappiamo inoltre che V_{P_1}=\frac{16}{15}V_{P}, pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa

    \\ V=V_{P}+\frac{16}{15}V_{P}=\frac{15+16}{15}V_{P}=\\ \\ \\ =\frac{31}{15}V_{P}

    Conoscendo il volume V, possiamo calcolare il volume del parallelepipedo V_{P}

    V_{P}=\frac{15}{31}V=\frac{15}{31}\cdot 65100\ \mbox{cm}^3=31500\ \mbox{cm}^3

    Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:

    - della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti L_{Q}=30\ \mbox{cm});

    - della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo h_{P}, che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa

    h_{P}=\frac{V_{P}}{S_{b}}

    dove S_{b} è l'area del quadrato Q e vale

    S_{b}=L_{Q}^2=900 \ \mbox{cm}^2

    L'altezza h_{P} misura quindi

    h_{P}=\frac{V_{P}}{S_{b}}=\frac{31500}{900} \ \mbox{cm}=35\ \mbox{cm}

    Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo

    \\ d=\sqrt{L_{Q}^2+L_{Q}^2+h_{P}^2}=\sqrt{30^2+30^2+35^2}\ \mbox{cm}= \\ \\ =\sqrt{3025}\ \mbox{cm}=55 \ \mbox{cm}

    Volume e apotema della piramide

    Il volume della piramide P_{1} si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che

    V_{P_1}=\frac{16}{15}V_{P}

    e che V_{P}=31500 \ \mbox{cm}^3 allora

    \\ V_{P_1}=\frac{16}{15}\cdot 31500 \ \mbox{cm}^3=\frac{16\cdot 31500}{15}\ \mbox{cm}^3= \\ \\ \\ =33600 \ \mbox{cm}^3

    Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di P_{1} che possiamo determinare con la formula inversa 

    \\ h_{P_1}=\frac{3V_{P_1}}{S_{b}}=\frac{3\cdot 33600}{900}\ \mbox{cm}= \\ \\ \\ =112 \ \mbox{cm}

    A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con a.

    Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:

    \\ a=\sqrt{\left(\frac{L_{Q}}{2}\right)^2+h_{P_1}^2}=\sqrt{15^2+112^2} \ \mbox{cm}= \\ \\ \\ =\sqrt{12769} \ \mbox{cm}=113 \ \mbox{cm}

    Area della superficie totale del solido

    L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide S_{lat,P_{1}}, l'area della superficie laterale del parallelepipedo S_{lat, P} e l'area della superficie di base S_{b}

    S_{tot}=S_{lat,P_1}+S_{lat,P_2}+S_{b}

    Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base (S_{b}=900 \ \mbox{cm}^2), dobbiamo calcolare le altre due.

    La superficie laterale della piramide si ricava con la formula

    S_{lat,P_1}=\frac{2p\cdot a}{2}

    dove 2p è il perimetro del quadrato di base e vale

    2p=4\cdot 30\ \mbox{cm}=120 \ \mbox{cm}

    mentre a=113 \ \mbox{cm} è l'apotema.

    S_{lat,P_1}=\frac{120\cdot 113}{2} \ \mbox{cm}^2=6780 \ \mbox{cm}^2

    La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula

    S_{lat,P}=2p\times h_{P}=

    dove 2p=120 \ \mbox{cm} mentre h_{P}=35 \ \mbox{cm}

    =120\cdot 35 \ \mbox{cm}^2=4200 \ \mbox{cm}^2

    Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido

    \\ S_{tot}=S_{lat,P_1}+S_{lat,P_2}+S_{b}= \\ \\ =(6780+4200+900) \ \mbox{cm}^2=\\ \\ =11880 \ \mbox{cm}^2

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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