Soluzioni
  • Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.

    Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.

    Sappiamo che:

    - il solido S è composto da un parallelepipedo rettangolo P e da una piramide regolare P_1;

    - il volume del solido S è

    V = 65100 cm^3

    - il poligono di base del parallelepipedo P è un quadrato Q di lato

    L_(Q) = 30 cm

    - la piramide regolare è un solido equivalente ai (16)/(15) del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai (16)/(15) del volume del parallelepipedo

    V_(P_1) = (16)/(15)·V_(P)

    - il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.

    Volume e diagonale del parallelepipedo

    Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.

    Poiché il solido S è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi

    V = V_(P)+V_(P_1)

    Sappiamo inoltre che V_(P_1) = (16)/(15)V_(P), pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa

     V = V_(P)+(16)/(15)V_(P) = (15+16)/(15)V_(P) = (31)/(15)V_(P)

    Conoscendo il volume V, possiamo calcolare il volume del parallelepipedo V_(P)

    V_(P) = (15)/(31)V = (15)/(31)·65100 cm^3 = 31500 cm^3

    Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:

    - della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti L_(Q) = 30 cm);

    - della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo h_(P), che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa

    h_(P) = (V_(P))/(S_(b))

    dove S_(b) è l'area del quadrato Q e vale

    S_(b) = L_(Q)^2 = 900 cm^2

    L'altezza h_(P) misura quindi

    h_(P) = (V_(P))/(S_(b)) = (31500)/(900) cm = 35 cm

    Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo

     d = √(L_(Q)^2+L_(Q)^2+h_(P)^2) = √(30^2+30^2+35^2) cm = √(3025) cm = 55 cm

    Volume e apotema della piramide

    Il volume della piramide P_(1) si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che

    V_(P_1) = (16)/(15)V_(P)

    e che V_(P) = 31500 cm^3 allora

     V_(P_1) = (16)/(15)·31500 cm^3 = (16·31500)/(15) cm^3 = 33600 cm^3

    Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di P_(1) che possiamo determinare con la formula inversa 

     h_(P_1) = (3V_(P_1))/(S_(b)) = (3·33600)/(900) cm = 112 cm

    A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con a.

    Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:

     a = √(((L_(Q))/(2))^2+h_(P_1)^2) = √(15^2+112^2) cm = √(12769) cm = 113 cm

    Area della superficie totale del solido

    L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide S_(lat,P_(1)), l'area della superficie laterale del parallelepipedo S_(lat, P) e l'area della superficie di base S_(b)

    S_(tot) = S_(lat,P_1)+S_(lat,P_2)+S_(b)

    Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base (S_(b) = 900 cm^2), dobbiamo calcolare le altre due.

    La superficie laterale della piramide si ricava con la formula

    S_(lat,P_1) = (2p·a)/(2)

    dove 2p è il perimetro del quadrato di base e vale

    2p = 4·30 cm = 120 cm

    mentre a = 113 cm è l'apotema.

    S_(lat,P_1) = (120·113)/(2) cm^2 = 6780 cm^2

    La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula

    S_(lat,P) = 2p×h_(P) =

    dove 2p = 120 cm mentre h_(P) = 35 cm

    = 120·35 cm^2 = 4200 cm^2

    Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido

     S_(tot) = S_(lat,P_1)+S_(lat,P_2)+S_(b) = (6780+4200+900) cm^2 = 11880 cm^2

    Abbiamo finito!

    Risposta di Ifrit
 
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