Volume di un solido con parallelepipedo rettangolo e piramide regolare

Mi serve una mano per risolvere un esercizio sui solidi composti. Il problema mi chiede, tra le altre cose, di calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo e quello di una piramide regolare. Come dovrei fare?

Un solido ha il volume di 65100 cm³ ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con lato di 30 cm, e da una piramide regolare P₁ che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore di P. Calcola:

(a) il volume e la diagonale di P;

(b) il volume e l'apotema di P;

Grazie.

Domanda di LORENS

Soluzioni

Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.
Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.
Sappiamo che:
- il solido è composto da un parallelepipedo rettangolo e da una piramide regolare ;
- il volume del solido è
$V=65100 \ \mbox{cm}^3$
- il poligono di base del parallelepipedo è un quadrato di lato
$L_{Q}=30\ \mbox{cm}$
- la piramide regolare è un solido equivalente ai $\frac{16}{15}$ del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai $\frac{16}{15}$ del volume del parallelepipedo
$V_{P_1}=\frac{16}{15}\cdot V_{P}$
- il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.
Volume e diagonale del parallelepipedo
Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.
Poiché il solido è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi
$V=V_{P}+V_{P_1}$
Sappiamo inoltre che $V_{P_1}=\frac{16}{15}V_{P}$ , pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa
$\\ V=V_{P}+\frac{16}{15}V_{P}=\frac{15+16}{15}V_{P}=\\ \\ \\ =\frac{31}{15}V_{P}$
Conoscendo il volume , possiamo calcolare il volume del parallelepipedo $V_{P}$
$V_{P}=\frac{15}{31}V=\frac{15}{31}\cdot 65100\ \mbox{cm}^3=31500\ \mbox{cm}^3$
Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:
- della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti $L_{Q}=30\ \mbox{cm}$ );
- della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo $h_{P}$ , che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa
$h_{P}=\frac{V_{P}}{S_{b}}$
dove $S_{b}$ è l'area del quadrato e vale
$S_{b}=L_{Q}^2=900 \ \mbox{cm}^2$
L'altezza $h_{P}$ misura quindi
$h_{P}=\frac{V_{P}}{S_{b}}=\frac{31500}{900} \ \mbox{cm}=35\ \mbox{cm}$
Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo
$\\ d=\sqrt{L_{Q}^2+L_{Q}^2+h_{P}^2}=\sqrt{30^2+30^2+35^2}\ \mbox{cm}= \\ \\ =\sqrt{3025}\ \mbox{cm}=55 \ \mbox{cm}$
Volume e apotema della piramide
Il volume della piramide $P_{1}$ si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che
$V_{P_1}=\frac{16}{15}V_{P}$
e che $V_{P}=31500 \ \mbox{cm}^3$ allora
$\\ V_{P_1}=\frac{16}{15}\cdot 31500 \ \mbox{cm}^3=\frac{16\cdot 31500}{15}\ \mbox{cm}^3= \\ \\ \\ =33600 \ \mbox{cm}^3$
Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di $P_{1}$ che possiamo determinare con la formula inversa
$\\ h_{P_1}=\frac{3V_{P_1}}{S_{b}}=\frac{3\cdot 33600}{900}\ \mbox{cm}= \\ \\ \\ =112 \ \mbox{cm}$
A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con .
Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:
$\\ a=\sqrt{\left(\frac{L_{Q}}{2}\right)^2+h_{P_1}^2}=\sqrt{15^2+112^2} \ \mbox{cm}= \\ \\ \\ =\sqrt{12769} \ \mbox{cm}=113 \ \mbox{cm}$
Area della superficie totale del solido
L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide $S_{lat,P_{1}}$ , l'area della superficie laterale del parallelepipedo $S_{lat, P}$ e l'area della superficie di base $S_{b}$
$S_{tot}=S_{lat,P_1}+S_{lat,P_2}+S_{b}$
Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base $(S_{b}=900 \ \mbox{cm}^2)$ , dobbiamo calcolare le altre due.
La superficie laterale della piramide si ricava con la formula
$S_{lat,P_1}=\frac{2p\cdot a}{2}$
dove è il perimetro del quadrato di base e vale
$2p=4\cdot 30\ \mbox{cm}=120 \ \mbox{cm}$
mentre $a=113 \ \mbox{cm}$ è l'apotema.
$S_{lat,P_1}=\frac{120\cdot 113}{2} \ \mbox{cm}^2=6780 \ \mbox{cm}^2$
La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula
$S_{lat,P}=2p\times h_{P}=$
dove $2p=120 \ \mbox{cm}$ mentre $h_{P}=35 \ \mbox{cm}$
$=120\cdot 35 \ \mbox{cm}^2=4200 \ \mbox{cm}^2$
Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido
$\\ S_{tot}=S_{lat,P_1}+S_{lat,P_2}+S_{b}= \\ \\ =(6780+4200+900) \ \mbox{cm}^2=\\ \\ =11880 \ \mbox{cm}^2$
Abbiamo finito!
Risposta di Ifrit