Volume di un solido con parallelepipedo rettangolo e piramide regolare
Mi serve una mano per risolvere un esercizio sui solidi composti. Il problema mi chiede, tra le altre cose, di calcolare il volume di un parallelepipedo rettangolo e quello di una piramide regolare. Come dovrei fare?
Un solido ha il volume di 65100 cm3 ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con lato di 30 cm, e da una piramide regolare P1 che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore di P. Calcola:
(a) il volume e la diagonale di P;
(b) il volume e l'apotema di P;
(c) l'area della superficie laterale del solido.
Grazie.
Per risolvere il problema faremo riferimento alle formule del parallelepipedo rettangolo e a quelle della piramide quadrangolare regolare.
Per prima cosa leggiamo bene il testo e riportiamo ordinatamente le informazioni utili.
Sappiamo che:
- il solido è composto da un parallelepipedo rettangolo
e da una piramide regolare
;
- il volume del solido è
- il poligono di base del parallelepipedo è un quadrato
di lato
- la piramide regolare è un solido equivalente ai del parallelepipedo, ciò vuol dire che il volume della piramide è uguale ai
del volume del parallelepipedo
- il poligono di base della piramide coincide con la base superiore del parallelepipedo.
Volume e diagonale del parallelepipedo
Iniziamo dal calcolo del volume e della diagonale del parallelepipedo.
Poiché il solido è composto dalla piramide e dal parallelepipedo, il suo volume è uguale alla somma dei volumi dei solidi
Sappiamo inoltre che , pertanto, sostituendo, la precedente uguaglianza diventa
Conoscendo il volume , possiamo calcolare il volume del parallelepipedo
Per determinare la lunghezza della diagonale del parallelepipedo rettangolo abbiamo bisogno:
- della lunghezza del lato di base (che già conosciamo, infatti );
- della lunghezza dell'altezza del parallelepipedo , che però non conosciamo. Per ricavarla usiamo la formula inversa
dove è l'area del quadrato
e vale
L'altezza misura quindi
Ora abbiamo tutti gli elementi per calcolare la lunghezza delle diagonale del parallelepipedo
Volume e apotema della piramide
Il volume della piramide si ottiene a partire da quello del parallelepipedo: sapendo che
e che allora
Per calcolare l'apotema della piramide, abbiamo bisogno dell'altezza di che possiamo determinare con la formula inversa
A questo punto consideriamo il triangolo rettangolo che ha per cateti il semi-lato del quadrato di base e l'altezza della piramide, e per ipotenusa l'apotema della piramide che indichiamo con .
Per il teorema di Pitagora, la lunghezza dell'apotema è:
Area della superficie totale del solido
L'area della superficie totale del solido si ottiene sommando l'area della superficie laterale della piramide , l'area della superficie laterale del parallelepipedo
e l'area della superficie di base
Delle tre aree conosciamo esclusivamente quella della superficie di base , dobbiamo calcolare le altre due.
La superficie laterale della piramide si ricava con la formula
dove è il perimetro del quadrato di base e vale
mentre è l'apotema.
La superficie laterale del parallelepipedo rettangolo si calcola invece con la formula
dove mentre
Finalmente disponiamo di tutti i valori per calcolare la superficie totale del solido
Abbiamo finito!
Risposta di: Redazione di YouMath (Salvatore Zungri - Ifrit)
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