Volume di un solido con parallelepipedo rettangolo e piramide regolare

Ciao spero possiate dirmi come calcolare il volume di un solido con una piramide regolare e un parallelepipedo rettangolo, in questo problema.

Un solido ha il volume di 65100 cm^3 ed è formato da un parallelepipedo rettangolo P che ha per base un quadrato con il lato di 30 cm, e da una piramide regolare P1 che è equivalente ai 16/15 di P ed ha per base la base superiore di P. Calcola:

a) il volume e la diagonale di P

b) il volume e l'apotema di P1

c) l'area della superficie laterale del solido.

Grazie mille anticipatamente!

In Superiori - Geometria - Domanda di LORENS

Soluzioni

Ciao Lorens, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega
Prima di tutto, bisogna calcolare tutto il calcolabile riguardo al parallelepipedo rettangolo (click per il formulario) .

La superficie di base, che è l'area di un quadrato:

$S_{base}=30^2=900cm^2$

Questa è anche l'area della base superiore, e quindi della base della piramide.

Il volume del solido si può calcolare come somma dei due volumi:

$V=V_{par}+V_{pir}$

d'altra parte i due volumi possiamo calcolarli come:

$V_{par}=l^2\times h_{par}$

$V_{pir}=\frac{l^2\times h_{pir}}{3}$

per cui

$V=l^2\times h_{par}+\frac{l^2\times h_{pir}}{3}$

$V=l^2\left(h_{par}+h_{pir}\right)=65100cm^3$

Noi conosciamo

$h_{par}+h_{pir}=\frac{65100}{900}\simeq 72,3cm$

Inoltre sappiamo che

$V_{pir}=\frac{16}{15}V_{pir}$

quindi

$\frac{l^2\times h_{pir}}{3}=\frac{16}{15}l^2\times h_{par}$

da cui, eliminando

$\frac{h_{pir}}{3}=\frac{16}{15}\times h_{par}$

e quindi

$h_{pir}=3\times \frac{16}{15}\times h_{par}$

$h_{pir}=\frac{16}{5}h_{par}$

Consideriamo le due relazioni

$h_{pir}=\frac{16}{5}h_{par}$

$h_{par}+h_{pir}\simeq 72,3cm$

Sostituiamo l'espressione di $h_{pir}$ della prima relazione nella seconda:

$h_{par}+\frac{16}{5}h_{par}\simeq 72,3cm$

$\frac{21}{5}h_{par}\simeq 72,3cm$

e ricaviamo

$h_{par}\simeq \frac{5}{21}72,3=17,21cm$

e dunque

$h_{pir}=\frac{16}{5}h_{par}\simeq 55,072cm$

Fin qui è tutto chiaro, Lorens?

Namasté!

Risposta di Omega
Non ho più avuto tue notizie, Lorens....

Andiamo avanti: per calcolare la diagonale del parallelepipedo, prima si calcola la diagonale di base con il teorema di Pitagora

$d_{base}=\sqrt{l^2+l^2}=l\sqrt{2}$

poi si calcola la diagonale, sempre con Pitagora

$d_{par}=\sqrt{2l^2+h_{par}^2}=\sqrt{1800+296,2}\simeq 45,8cm$

Il volume del parallelepipedo è invece

$V_{par}=l^2\times h_{par}=900\times 17,21=15489cm^3$

Per il volume della piramide, calcoliamo

$V_{pir}=\frac{l^2\times h_{pir}}{3}=\frac{900\times 55,072}{3}=16521,6cm^3$

Mentre per l'apotema serve il teorema di Pitagora

$a_{pir}=\sqrt{h^{2}_{pir}+\left(\frac{l}{2}\right)^{2}}\simeq 57cm$

Per l'area della superficie laterale del solido, basterà calcolare la somma delle are delle superfici laterali:

$S_{lat}=S_{lat,par}+S_{lat,pir}=4l\times h_{par}+\frac{2p_{base,pir}\times a_{pir}}{2}=5485cm^2$

I risultati potrebbero essere lievemente diversi da quelli del libro a causa delle approssimazioni, che non si scelgono in modo unico.

Controlla i conti

Namasté!

Risposta di Omega