Area della superficie totale di un solido

Ciao a tutti come si calcola l'area della superficie totale del solido composto di questo esercizio? Esso è formato da un parallelepipedo rettangolo P alto 4 cm ed avente per base un quadrato col perimetro di 192 cm, e da due piramidi regolari uguali tra loro ed aventi per basi le due basi del parallelepipedo. Sapendo che ciascuna piramide è equivalente ai 7/12 di P, devo calcolare l'area della superficie del solido.

Ciao e grazie!

Domanda di LORENS

Soluzioni

$\begin{cases}h_{par}=4\,\, cm\\P_{base}= 192\,\, cm\\V_{piramide}= \frac{7}{12}V_{P}\end{cases}$
Cominciamo. Il poligono di base è un quadrato di cui abbiamo il perimetro, con le formule inverse possiamo calcolare il lato e quindi lo spigolo di base:
$\ell= P_{base}:4= 192:4=48\,\, cm$
Avendo il lato di base possiamo calcolare l'area:
$A_{base}= \ell^2= 48^2=2304\,\, cm^2$
Possiamo calcolare inoltre la superficie laterale e il volume del parallelepipedo:
$S_{lat}= P_{base}\times h_{par}= 192\times 4=768\,\, cm^2$
Il volume è dato da:
$V_{par}= A_{base}\times h_{par}= 2304\times 4=9216\,\, cm^3$
Adesso possiamo concentrarci sulle piramidi di cui sappiamo l'area di base e il perimetro (coincidono con con quelle del quadrato calcolate in precedenza).
Inoltre il volume della piramide è:
$V_{pir}= \frac{7}{12}V_{par}= V_{par}:12\times 7= 9216:12\times 7=5376\,\, cm^3$
Attraverso le formule inverse possiamo calcolare l'altezza:
$h_{pir}= \frac{3\times V}{A_{base}}= \frac{3\times 5376}{2304}=7\,\, cm$
Possiamo calcolare l'apotema della piramide utilizzando il teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e il semilato di base:
$a=\sqrt{h_{pir}^2+\frac{\ell^2}{4}}= \sqrt{49+576}=25\,\, cm$
Ottimo possiamo calcolare la superficie laterale di una piramide:
$S_{l\,\, pir}= \frac{P_{base}\times a}{2}=\frac{192\times 25}{2}=2400\,\, cm^2$
Abbiamo concluso, la superficie totale del solido è:
$S_{tot\,\, solido}= 2\times S_{l\,\, pir}+S_{l\,\, par}= 2\times 2400+768=5568\,\, cm^2$
Risposta di Ifrit

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