Area della superficie totale di un solido

Ciao a tutti come si calcola l'area della superficie totale del solido composto di questo esercizio? Esso è formato da un parallelepipedo rettangolo P alto 4 cm  ed avente per base un quadrato col perimetro di 192 cm, e da due piramidi regolari uguali tra loro ed aventi per basi le due basi del parallelepipedo. Sapendo che ciascuna piramide è equivalente ai 7/12 di P, devo calcolare l'area della superficie del solido.


Ciao e grazie!

In Medie - Geometria - Domanda di LORENS

 
Soluzioni

  • \begin{cases}h_{par}=4\,\, cm\\P_{base}= 192\,\, cm\\V_{piramide}= \frac{7}{12}V_{P}\end{cases}

    Cominciamo. Il poligono di base è un quadrato di cui abbiamo il perimetro, con le formule inverse possiamo calcolare il lato e quindi lo spigolo di base:

    \ell= P_{base}:4= 192:4=48\,\, cm

    Avendo il lato di base possiamo calcolare l'area:

    A_{base}= \ell^2= 48^2=2304\,\, cm^2

    Possiamo calcolare inoltre la superficie laterale e il volume del parallelepipedo:

    S_{lat}= P_{base}\times h_{par}= 192\times 4=768\,\, cm^2

    Il volume è dato da:

    V_{par}= A_{base}\times h_{par}= 2304\times 4=9216\,\, cm^3

    Adesso possiamo concentrarci sulle piramidi di cui sappiamo l'area di base e il perimetro (coincidono con con quelle del quadrato calcolate in precedenza).

    Inoltre il volume della piramide è:

    V_{pir}= \frac{7}{12}V_{par}= V_{par}:12\times 7= 9216:12\times 7=5376\,\, cm^3

    Attraverso le formule inverse possiamo calcolare l'altezza:

    h_{pir}= \frac{3\times V}{A_{base}}= \frac{3\times 5376}{2304}=7\,\, cm

    Possiamo calcolare l'apotema della piramide utilizzando il teorema di pitagora applicato al triangolo rettangolo che ha per cateti l'altezza e il semilato di base:

    a=\sqrt{h_{pir}^2+\frac{\ell^2}{4}}= \sqrt{49+576}=25\,\, cm

    Ottimo possiamo calcolare la superficie laterale di una piramide:

    S_{l\,\, pir}= \frac{P_{base}\times a}{2}=\frac{192\times 25}{2}=2400\,\, cm^2

    Abbiamo concluso, la superficie totale del solido è:

    S_{tot\,\, solido}= 2\times S_{l\,\, pir}+S_{l\,\, par}= 2\times 2400+768=5568\,\, cm^2

    Risposta di Ifrit
 
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