Area di un triangolo rettangolo con risultato equazione

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Ciao! Ecco un problema di Algebra e Geometria sull'area di un triangolo rettangolo, lungo e complicato, che mi ha mandato in tilt. Devo trovare l'area di un triangolo rettangolo attraverso i cateti e uno dei due cateti è il risultato di un'equazione...

 

L'ipotenusa di un triangolo rettangolo è 5/4 di uno dei due cateti e la misura dell'altro è il risultato dell'equazione:

 

(x)/(126)-([(x-2)^2])/(2)-(1)/(2)(x-2)^2 = (1)/(3)(x-2)^3-(1)/(3) [(x-1)^3].

 

Determina l'area. Grazie mille!

Domanda di Dam

 
Soluzioni

  • Anche se non sembra, ci troviamo di fronte ad un'equazione di primo grado, come vedremo tra poco 

    (x)/(126)-([(x-2)^2])/(2)-(1)/(2)(x-2)^2 = (1)/(3)(x-2)^3-(1)/(3) [(x-1)^3]

    la riscriviamo come

    (x)/(126)-(1)/(2)(x-2)^2-(1)/(2)(x-2)^2-(1)/(3)(x-2)^3 = -(1)/(3) [(x-1)^3]

    cioè

    (x)/(126)-(x-2)^2-(1)/(3)(x-2)^3 = -(1)/(3) [(x-1)^3]

    Al primo membro facciamo i calcoli

    (x)/(126)-(x^2-4x+4)-(1)/(3)(x^3-6x^2+12x-8) = -(1)/(3) [(x-1)^3]

    e si trova

    -(x^3)/(3)+x^2+(x)/(126)-(4)/(3) = -(1)/(3) [(x-1)^3]

    moltiplichiamo entrambi i membri per -3

    x^3-3x^2-(x)/(42)+4 = (x-1)^3

    ossia, con un paio di calcoli

    (127)/(42)x = 5

    da cui

    x = (210)/(127)

    Abbiamo quindi:

    c_1 = (210)/(127)

    e sappiamo che

    I = (5)/(4)c_2

    Per risolvere il problema bisogna quindi applicare il teorema di Pitagora per calcolare

    c_2 = √(I-c_1^2)

    che è

    c_2 = √((25)/(16)c_2^2-(210^2)/(127^2))

    Elevando entrambi i membri al quadrato e risolvendo in favore di c_2 si determina la misura del secondo cateto.

    Elevi entrambi i membri dell'equazione al quadrato:

    c_2^2 = (25)/(16)c_2^2-(210^2)/(127^2)

    da cui

    -(9)/(16)c_2^2 = -(210^2)/(127^2)

    e quindi

    c_2^2 = (16)/(9)(210^2)/(127^2)

    estraendo la radice quadrata e prendendo solamente la soluzione positiva (abbiamo a che fare con la lunghezza di un segmento: non può essere un valore negativo)

    c_2 = (4)/(3)·(210)/(127) = (280)/(127)

    Questa è la misura del secondo cateto.

    A questo punto, si dovrà calcolare l'area del triangolo rettangolo come semiprodotto dei cateti.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Non ho parole per ringraziarti, grazie! :D

    Risposta di Dam
 
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