Soluzioni
  • Ciao Nepero, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'integrale proposto facciamo ricorso al metodo di integrazione delle funzioni razionali: scomponiamo il denominatore nel prodotto

    x^6-8=(x^2-2)(x^4+2x^2+4)

    dopodiché scomponiamo ulteriormente

    x^6-8=(x^2-2)(x^4+2x^2+4)=(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})(x^2-\sqrt{2}x+2)(x^2+\sqrt{2}x+2)

    Imponiamo l'uguaglianza

    \frac{x^3}{x^6-8}=\frac{A}{x-\sqrt{2}}+\frac{B}{x+\sqrt{2}}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt{2}x+2}+\frac{Ex+F}{x^2+\sqrt{2}+2}

    Svolgendo una quantità imbarazzante di calcoli, si giunge alla seguente scomposizione per il metodo di integrazione considerato:

    \frac{x^3}{x^6-8}=\frac{\frac{1}{12}}{x-\sqrt{2}}+\frac{\frac{1}{12}}{x+\sqrt{2}}+\frac{-\frac{2}{24}x+\frac{4\sqrt{2}}{24}}{x^2-\sqrt{2}x+2}+\frac{-\frac{2}{24}x-\frac{4\sqrt{2}}{24}}{x^2+\sqrt{2}+2}

    al che, spezzando l'integrale nella somma degli integrali dei singoli addendi, si trovano come primitive:

    - due logaritmi - primi due termini;

    - due arcotangenti e altri due logaritmi - ultimi due termini.

    E' un integrale molto laborioso in termini computazionali. Fa attenzione ai conti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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