Soluzioni
  • Ciao Clara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La funzione considerata è questa:

    f(x,y)=\frac{x|y|}{x^2+y^2+1}

    Calcolando le derivate parziali per poi richiedere successivamente l'annullamento del gradiente, troviamo

    \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{|y|(x^2-y^2+1)}{(x^2+y^2+1)^2}

    \frac{\partial f}{\partial x}=-\frac{xy(x^2-y^2+1)}{|y|(x^2+y^2+1)^2}

    e fin qui credo non ci siano problemi.

    La "novità" in tal caso è però che, oltre a tutti i punti in cui si annulla il gradiente (punti stazionari) vanno considerati anche i punti in cui il gradiente non è definito (in questi punti dovremmo studiare le derivate parziali con la definizione): nel nostro caso i punti in questione sono nella fattispecie quelli che determinano l'annullamento del denominatore della derivata parziale rispetto a y: abbiamo infatti a denominatore un bel termine |y|.

    Quindi, per i punti tali che y=0 bisogna studiare il comportamento locale della funzione e capire che tipo di punti critici essi siano.

    Ti torna?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ho capito! Grazie :)

    Ma come posso studiare il comportamento locale per capire che tipo di punti critici sono? Mi avevano detto di studiare il segno della funzione o di basarmi su una sua restrizione, ma non capisco come fare Undecided

    Risposta di Clara
  • Devi comportarti più o meno come si fa nel calcolo dei limiti per funzioni di più variabili: considera uno dei punti della forma (x,0) e considera diverse direzioni per il punto.

    Valutando la funzione di due variabili lungo tali direzioni (direzioni semplici, non servono cose astruse...) ti puoi ricondurre a funzioni di una variabile delle quali si studia più o meno facilmente il comportamento: a questo punto, se trovi anche solo due direzioni lungo le quali la funzione di due variabili ha comportamenti diversi, il punto considerato è di sella.

    Se invece l'espressione analitica della funzione ti riconduce sempre e comunque a funzioni di una variabile con monotonia ben definita, puoi dedurre che il punto esaminato è di massimo o minimo locale.

    Nel caso della funzione che stiamo analizzando il discorso si semplifica parecchio, perché la funzione di due variabili si annulla in tutti i punti del tipo (x,0). Dunque studiando il segno in un intorno di un generico punto (x,0) puoi capire (garantito Wink) se il punto stesso è di massimo, di minimo o di sella.

    Nello studiare il segno della funzione nell'intorno dei punti (x,0), nel nostro caso, bisognerà solamente distinguere i casi x>0, x=0, x\textless 0, per i quali si vede abbastanza facilmente che abbiamo rispettivamente a che fare con punti di minimo, di sella, e di massimo.

    Nota infatti che il segno della funzione, tolto il termine x, è ben definito e sempre non negativo. Prendendo i punti nell'intorno di (x,0) e dunque escludendo i punti (x,0) tale segno è positivo e tutto dipende dal segno che prendi per l'ascissa x.

     

    Potrebbe interessarti (anche se lì si parla di Hessiani nulli il ragionamento è del tutto analogo):

    metodi per lo studio del comportamento locale di funzioni a due variabili in punti ad Hessiano nullo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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