Punti critici in due variabili che annullano il modulo
Ciao, vorrei chiarire un dubbio sui punti critici che annullano i moduli nel contesto delle funzioni a due variabili. Ho
Calcolando le derivate parziali e ponendole uguali a 0 in sistema arrivo a stabilire che un punto critico è l'origine (0,0), ma non so poi come continuare.
Mi hanno poi detto che a causa del modulo sono da considerare punti critici anche tutti i punti appartenenti all'asse x, quelli che annullano il modulo, ma non capisco bene con che criterio e che bisogna fare uno studio del segno della funzione per determinare la loro natura, ma non so come...
In altre parole sono abbastanza confusa e non so come cavarmela. Grazie mille per l'aiuto!
Ciao Clara, arrivo a risponderti...
Risposta di Omega
La funzione considerata è questa:
Calcolando le derivate parziali per poi richiedere successivamente l'annullamento del gradiente, troviamo
e fin qui credo non ci siano problemi.
La "novità" in tal caso è però che, oltre a tutti i punti in cui si annulla il gradiente (punti stazionari) vanno considerati anche i punti in cui il gradiente non è definito (in questi punti dovremmo studiare le derivate parziali con la definizione): nel nostro caso i punti in questione sono nella fattispecie quelli che determinano l'annullamento del denominatore della derivata parziale rispetto a 
: abbiamo infatti a denominatore un bel termine 
.
Quindi, per i punti tali che 
bisogna studiare il comportamento locale della funzione e capire che tipo di punti critici essi siano.
Ti torna?
Namasté!
Risposta di Omega
Ho capito! Grazie :)
Ma come posso studiare il comportamento locale per capire che tipo di punti critici sono? Mi avevano detto di studiare il segno della funzione o di basarmi su una sua restrizione, ma non capisco come fare 
Risposta di Clara
Devi comportarti più o meno come si fa nel calcolo dei limiti per funzioni di più variabili: considera uno dei punti della forma 
e considera diverse direzioni per il punto.
Valutando la funzione di due variabili lungo tali direzioni (direzioni semplici, non servono cose astruse...) ti puoi ricondurre a funzioni di una variabile delle quali si studia più o meno facilmente il comportamento: a questo punto, se trovi anche solo due direzioni lungo le quali la funzione di due variabili ha comportamenti diversi, il punto considerato è di sella.
Se invece l'espressione analitica della funzione ti riconduce sempre e comunque a funzioni di una variabile con monotonia ben definita, puoi dedurre che il punto esaminato è di massimo o minimo locale.
Nel caso della funzione che stiamo analizzando il discorso si semplifica parecchio, perché la funzione di due variabili si annulla in tutti i punti del tipo . Dunque studiando il segno in un intorno di un generico punto puoi capire (garantito 
) se il punto stesso è di massimo, di minimo o di sella.
Nello studiare il segno della funzione nell'intorno dei punti , nel nostro caso, bisognerà solamente distinguere i casi 
, 
, 
, per i quali si vede abbastanza facilmente che abbiamo rispettivamente a che fare con punti di minimo, di sella, e di massimo.
Nota infatti che il segno della funzione, tolto il termine 
, è ben definito e sempre non negativo. Prendendo i punti nell'intorno di e dunque escludendo i punti tale segno è positivo e tutto dipende dal segno che prendi per l'ascissa .
Potrebbe interessarti (anche se lì si parla di Hessiani nulli il ragionamento è del tutto analogo):
metodi per lo studio del comportamento locale di funzioni a due variabili in punti ad Hessiano nullo.
Namasté!
Risposta di Omega