Soluzioni
  • Trovare le intersezioni di una retta con gli assi cartesiani significa calcolare le coordinate cartesiane dei punti d'intersezione tra la retta e ciascuno degli assi cartesiani, che sono l'asse x (o asse delle ascisse) e l'asse y (o asse delle ordinate).

    Per farlo si devono risolvere, separatamente, i sistemi lineari formati dall'equazione della retta e dalle equazioni degli assi coordinati. Più esplicitamente:

    • l'equazione dell'asse delle ascisse è y=0, dunque per trovare l'eventuale punto di intersezione di una retta con l'asse x si deve risolvere il sistema formato dell'equazione della retta e dall'equazione y=0

    \mbox{Intersezione retta - asse } x \ \ \to \ \ \begin{cases}\mbox{equazione della retta} \\ y=0\end{cases}

    • L'equazione dell'asse delle ordinate è x=0, di conseguenza per trovare l'eventuale punto di intersezione di una retta con l'asse y si deve considerare il sistema formato dell'equazione della retta e dall'equazione x=0

    \mbox{Intersezione retta - asse } y \ \ \to \ \ \begin{cases}\mbox{equazione della retta} \\ x=0\end{cases}

    Per risolvere i due sistemi consigliamo di usare il metodo di sostituzione.

    Esempio sul calcolo delle intersezioni di una retta con gli assi cartesiani

    A titolo di esempio risolviamo l'esercizio proposto, che chiede di trovare le intersezioni della retta di equazione

    4x-3y+5=0

    con l'asse x e con l'asse y.

    Svolgimento: partiamo dall'intersezione tra la retta e l'asse delle ascisse, dunque consideriamo il sistema

    \begin{cases}4x-3y+5=0 \\ y=0\end{cases}

    Sostituiamo y=0 nella prima equazione

    \begin{cases}4x-3 \cdot 0 +5=0 \\ y=0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}4x+5=0 \\ y=0\end{cases}

    Ci siamo così ricondotti a un'equazione di primo grado nell'incognita x. Risolviamola:

    \begin{cases}x=-\dfrac{5}{4} \\ \\ y=0\end{cases}

    La soluzione del sistema, e quindi l'intersezione tra la retta e l'asse x, è il punto

    A\left(-\frac{5}{4},0\right)

    Consideriamo poi il sistema

    \begin{cases}4x-3y+5=0 \\ x=0\end{cases}

    la cui soluzione è il punto di intersezione tra la retta e l'asse y.

    Sostituiamo x=0 nella prima equazione

    \begin{cases}4 \cdot 0-3y+5=0 \\ x=0\end{cases} \ \to \ \begin{cases}-3y+5=0 \\ x=0\end{cases}

    e risolviamo l'equazione di primo grado che ne scaturisce

    \begin{cases}y=\dfrac{5}{3} \\ \\ x=0\end{cases}

    Ci siamo! Il punto di intersezione tra la retta e l'asse y è

    B\left(0,\frac{5}{3}\right)

    Per maggior chiarezza ecco una rappresentazione nel piano cartesiano che evidenzia le intersezioni della retta con gli assi:

     

    Intersezioni retta con asse x e asse y

    Intersezioni della retta con gli assi cartesiani.

     

    Casi particolari sul calcolo delle intersezioni di una retta con gli assi

    Per concludere ti mettiamo in guardia su due casi particolari, che spesso mandano in crisi gli studenti alle prime armi: le rette orizzontali e le rette verticali.

    • Le rette la cui equazione si presenta in una delle forme equivalenti

    y-k=0 \ \ \mbox{ oppure } \ \ y=k, \ \ \mbox{ con } k \neq 0

    sono rette orizzontali, ossia rette parallele all'asse delle ascisse. In quanto tali:

    - non hanno punti di intersezione con l'asse x;

    - l'unico punto di intersezione con l'asse y è (0,k).

    • Le rette di equazione

    x-h=0 \ \ \mbox{ oppure } \ \ x=h, \ \ \mbox{ con } h \neq 0

    sono rette verticali, cioè rette parallele all'asse delle ordinate, dunque:

    - non hanno punti di intersezione con l'asse y;

    - l'unico punto di intersezione con l'asse x è il punto (h,0).

    ***

    Per concludere ti suggeriamo di:

    - leggere il nostro formulario sulla retta;

    - leggere la nostra guida su come si disegna una retta nel piano cartesiano;

    - usare il tool sulla retta online, che fornisce svariate informazioni sulla retta inserita in input, tra cui la sua rappresentazione e le intersezioni con gli assi.

    Risposta di Galois
 
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