Cosa sono le serie telescopiche?

Buongiorno volevo capire che cos'è una serie telescopica e se potete spiegarmi come si riconoscono, come si studia la loro convergenza e come se ne calcola la somma. Potreste spiegarmelo nel caso della serie

 

\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}

 

Grazie mille

In Uni - Analisi - Domanda di 904

Soluzioni

  • Ciao 904, arrivo subito! Wink

    Risposta di Omega

  • La serie che prendiamo come riferimento è

    \sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n(n+1)}}

    ed è una serie telescopica "mascherata"...

    Per prima cosa: il teorema del confronto asintotico per serie ci dice che la serie qui presente converge, infatti

    \frac{1}{n(n+1)}\sim_{n\to +\infty}\frac{1}{n^2}

    che è il termine generale della serie armonica generalizzata, e che converge.

    Nel caso della serie considerata, possiamo dire di più e calcolare esplicitamente il termine N-esimo della successione delle somme parziali.

    Una serie telescopica, prima di tutto, è una serie del tipo

    \sum_{n=1}^{+\infty}{a_{n}}

    tale per cui i termini consecutivi si annullano, per cui risulta che

    \sum_{n=1}^{N}{a_{n}}=a_N-a_{1}

    Nel nostro caso non è immediato vedere che la serie considerata è una serie telescopica: riscrivendo il termine generale nella forma

    \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}

    si può riscrivere il termine N-esimo della successione delle somme parziali nella forma

    \sum_{1}^{N}{\frac{1}{n(n+1)}}=\sum_{n=1}^{N}{{\frac{1}{n}}-\sum_{n=1}^{N}{{\frac{1}{n+1}}=

    scriviamo esplicitamente i termini:

    =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...\frac{1}{N-1}-\frac{1}{N+1}

    e abbiamo determinato l'espressione del termine N-esimo della successione delle somme parziali:

    S_{N}=1-\frac{1}{N+1}

    ---

    Queste letture potrebbero interessarti parecchio:

    - guida sulle serie telescopiche;

    - esercizi svolti sulle serie telescopiche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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