Cosa sono le serie telescopiche?

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Buongiorno volevo capire che cos'è una serie telescopica e se potete spiegarmi come si riconoscono, come si studia la loro convergenza e come se ne calcola la somma. Potreste spiegarmelo nel caso della serie

 

Σ_(n = 1)^(∞)(1)/(n(n+1))

 

Grazie mille

Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904, arrivo subito! Wink

    Risposta di Omega

  • La serie che prendiamo come riferimento è

    Σ_(n = 1)^(∞)(1)/(n(n+1))

    ed è una serie telescopica "mascherata"...

    Per prima cosa: il teorema del confronto asintotico per serie ci dice che la serie qui presente converge, infatti

    (1)/(n(n+1)) ~ _(n → +∞)(1)/(n^2)

    che è il termine generale della serie armonica generalizzata, e che converge.

    Nel caso della serie considerata, possiamo dire di più e calcolare esplicitamente il termine N-esimo della successione delle somme parziali.

    Una serie telescopica, prima di tutto, è una serie del tipo

    Σ_(n = 1)^(+∞)a_(n)

    tale per cui i termini consecutivi si annullano, per cui risulta che

    Σ_(n = 1)^(N)a_(n) = a_N-a_(1)

    Nel nostro caso non è immediato vedere che la serie considerata è una serie telescopica: riscrivendo il termine generale nella forma

    (1)/(n(n+1)) = (1)/(n)-(1)/(n+1)

    si può riscrivere il termine N-esimo della successione delle somme parziali nella forma

    Σ_(1)^(N)(1)/(n(n+1)) = Σ_(n = 1)^(N)(1)/(n)-Σ_(n = 1)^(N)(1)/(n+1) =

    scriviamo esplicitamente i termini:

    = 1-(1)/(2)+(1)/(2)-(1)/(3)+...(1)/(N-1)-(1)/(N+1)

    e abbiamo determinato l'espressione del termine N-esimo della successione delle somme parziali:

    S_(N) = 1-(1)/(N+1)

    ---

    Queste letture potrebbero interessarti parecchio:

    - guida sulle serie telescopiche;

    - esercizi svolti sulle serie telescopiche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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